Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
дифференцируемы в окрестности точки х . Тогда существует такой
ненулевой вектор (
*
0
y ,y*)
1m
R
+
∈
, ),...,(*
**
1 m
yyy = , что для расширенной
функции Лагранжа
∑
=
−+=Φ
m
1i
iii000
xfbyxfyyyx ))(()(),,(
~
выполняются следующие равенства:
=Φ∇
=Φ∇
0yyx2
0yyx1
0y
0x
*),*,()
*),*,()
*
*
В результате отыскание подозрительных на экстремум точек может
осуществляться по следующему алгоритму:
Шаг 1. Составить расширенную функцию Лагранжа:
∑
=
−+=Φ
m
1i
iii000
xfbyxfyyyx ))(()(),,(
~
Шаг 2. Записать необходимые условия экстремума
=Φ∇
=Φ∇
0yyx2
0yyx1
0
y
0
x
),,()
),,()
Шаг 3. Решить систему для двух случаев
1) y
0
=0;
2) y
0
=1
В результате найти подозрительные на экстремум точки x*.
Возвратимся к примеру 4.
1. Составим расширенную функцию Лагранжа.
)(),,(
2
2
3
11100
xxyxyyyx −+=Φ
2. Выпишем необходимые условия экстремума
=−=
∂
Φ∂
=−=
∂
Φ∂
=+=
∂
Φ∂
0xx
y
yx
b
0xy2
x
yx
0xy3y
x
yx
a
2
2
3
1
1
21
2
2
110
1
),(
)
,
),(
,
),(
)
3. Положим y
0
=0.
Решая полученную систему, находим единственную точку (0,0).
При y
0
=1, как мы уже выяснили , система несовместна.
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать, что всякая точка локального минимума в задаче выпуклого
программирования является точкой глобального минимума.
2. Найти точки безусловного экстремума функций. 
                                             10
дифференцируемы в окрестности                точки х.Тогда существует такой
                     *            m +1
ненулевой вектор ( y 0 ,y*) ∈R         , y* =( y1* ,..., y m* ) , что для расширенной
функции Лагранжа
                        ~ ( x, y , y ) = y f ( x) + m y (b − f ( x))
                       Φ          0       0 0            ∑      i   i       i
                                                         i =1
выполняются следующие равенства:
                             �� 1) ∇ x Φ( x*, y 0* , y*) =0
                               �                    *
                                 �� 2) ∇ y Φ( x*, y 0 , y*) =0
В результате отыскание подозрительных на экстремум точек может
осуществляться по следующему алгоритму:
 Шаг 1. Составить расширенную функцию Лагранжа:
                   ~ ( x, y , y ) = y f ( x) + m y (b − f ( x))
                   Φ          0        0 0        ∑       i     i       i
                                                  i =1
Шаг 2. Записать необходимые условия экстремума
                         �� 1) ∇ x Φ( x, y 0 , y ) =0
                           �                  0
                             �� 2) ∇ y Φ( x, y , y ) =0
Шаг 3. Решить систему для двух случаев
1) y0=0;
2) y0=1
В результате найти подозрительные на экстремум точки x*.

Возвратимся к примеру 4.
1. Составим расширенную функцию Лагранжа.
                      Φ ( x, y 0 , y ) = y 0 x 1 +y 1 ( x 13 − x 22 )
2. Выпишем необходимые условия экстремума
                       �                 ∂Φ( x, y )
                         � a)                        = y 0 +3 y 1 x12 =0,
                          �                ∂x1
                            �             ∂Φ( x, y )
                              �                      =−2 y1 x 2 =0,
                                �           ∂x 2
                                  �      ∂Φ( x, y )
                                    � b)             =x13 −x 22 =0
                                     �     ∂y 1
             0
3. Положим y =0.
Решая полученную систему, находим единственную точку (0,0).
При y0=1, как мы уже выяснили, система несовместна.

                     Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что всякая точка локального минимума в задаче выпуклого
   программирования является точкой глобального минимума.
2. Найти точки безусловного экстремума функций.

Страницы