Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

56
хорошим приближением к опти - мальной точке. Хотя в этой точке по -
прежнему
оба ограничения нарушены , величина невязок не превосходит 0.1,
поэтому положим
2
*
x
x
=
.
Пример 2. Решить методом секущих плоскостей задачу
9)(
max)(
2
2
2
1
1
21
≤+=
→
−
=
xxxf
xxx
ϕ
Решение. Выберем )3,2(
0
=x . Вычислим )2;2()(
211
xxxf
=
. Тогда
1364)3;2)(6;4(13)(
21211
−+=−−+≈ xxxxxf
T
Решим графически задачу линейного
программирования
2264:
max
211
21
≤+Ω
→
−
xx
xx
Из графика видно, что в направлении
вектора- градиента целевой функции
допустимое множество не ограничено,
+∞=
Ω
)(
sup
1
xϕ , т.е. ЗЛП решения не имеет.
Однако исходная задача разрешима,
)
2
3
,
2
3
(* −= x
. Этот пример
иллюстрирует существенность требования ограниченности множества
1
Ω
.
Метод гладких штрафов
Данный метод относится к методам последовательной безусловной
минимизации.
Рассмотрим задачу
min
)
(
→
x
f
;m,1j,0)x(g
j
=
≤
pmmjxg
j
++== ,1,0)( .
Решение задачи сводится к решению последовательности задач поиска
безусловного минимума вспомогательной функции
FxrfxPxr
kk
(,)()(,)min=+→
,
где
Pxr
k
(,)
- штрафная функция,
r
k
- параметр штрафа, задаваемый на
каждой
k
-й итерации. На штрафную функцию накладываются следующие
ограничения
1)
>
=
йограничениииневыполненпри
rxP
k
,0
,,0
),(
йограничени выполнениипри 
                                              56
хорошим приближением к опти-          мальной точке. Хотя в этой точке по-
прежнему оба ограничения нарушены, величина невязок не превосходит 0.1,
поэтому положим x* =x 2 .
Пример 2. Решить методом секущих плоскостей задачу
                          ϕ ( x) =x1 −x2 → max
                                   f1 ( x ) =x12 +x22 ≤9

Решение. Выберем x 0 =(2,3) . Вычислим ∇ f1 ( x ) =( 2 x1; 2 x2 ) . Тогда

                     f1 ( x) ≈13 +(4;6)( x1 −2; x2 −3)T =4 x1 +6 x2 −13

                                        Решим графически задачу линейного
                                        программирования
                                                   x1 −x2 → max
                                                    Ω1 : 4 x1 +6 x2 ≤22
                                        Из графика видно, что в направлении
                                        вектора-градиента целевой функции
                                        допустимое множество не ограничено,
                                        supϕ ( x) =+∞, т.е. ЗЛП решения не имеет.
                                         Ω1
                              Однако исходная задача разрешима,
                                     3      3
                              x* =(     ,−     ) .Этот пример
                                      2      2
иллюстрирует существенность требования ограниченности множества              Ω1 .

                             Метод гладких штрафов
    Данный метод относится к методам последовательной безусловной
минимизации.
     Рассмотрим задачу
                           f ( x) → min
                           g j ( x ) ≤0, j =1, m;
                                   g j ( x) =0, j =m +1, m + p .
      Решение задачи сводится к решению последовательности задач поиска
безусловного минимума вспомогательной функции
                         F ( x , r k ) = f ( x ) +P ( x , r k ) → min ,
где P ( x , r k ) - штрафная функция, r k - параметр штрафа, задаваемый на
каждой k -й итерации. На штрафную функцию накладываются следующие
ограничения

                           при выполнении ограничений,
1) P ( x, r k ) =��
                     0,
                   � >0,   при невыполнении ограничений

Страницы