Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 55 стр.

                                               57
2) при невыполнении ограничений и                   r k → ∞, k → ∞ должно выполняться
условие P( x , r k ) → ∞.
     В качестве штрафных функций используются, например, функции вида

                                    r k � m +p       m              �
                     P( x , r ) = � ∑ g j ( x ) 2 + ∑ g +j ( x ) 2 � ,
                             k
                                     2 � j =m +1    j =1              �
где      +
                     {             }
       g j ( x ) =max 0, g j ( x ) . Данная функция удовлетворяет                    всем
требованиям, предъявляемым к штрафным функциям, и является
дифференцируемой. Что позволяет при безусловной                   оптимизации
использовать градиентные процедуры.
                                Алгоритм
     Шаг 1. Задать начальную точку x 0 , начальное значение параметра
штрафа r 0 , число C >1 для увеличения параметра, характеристика точности
алгоритма ε >0 .
     Шаг 2. Положить k =0 .
     Шаг 3. Составить вспомогательную функцию F ( x , r k ) .
     Шаг 4. Используя заданные на шаге 1 параметры данного алгоритма,
решить задачу безусловной минимизации          F ( x , r k ) → min одним из
численных методов безусловной минимизации.
                                                          (          )
     Шаг 5. Вычислить значение функции P x * ( r k ), r k в полученной на
шаге 4 точке минимума x * ( r k ) .
                             (             )
      Шаг 6. Если P x * (r k ), r k ≤ε , то процесс поиска закончить и
положить x * =x * ( r k ),       f ( x * ) = f ( x * ( r k )) . В противном случае положить
r k +1 =Cr k , x k +1 =x * ( r k ), k =k +1 и перейти к шагу 3.
      В данном методе, как правило,          выбирают r 0 =0; 0,01; 0,1; 1, а
C ∈[ 4;10] . При этом не рекомендуется пытаться решить одну
вспомогательную задачу, беря сразу очень большое значение параметра
штрафа r 0 , поскольку при большом значении данного параметра
вспомогательная функция приобретает явно выраженную овражную
структуру.
      Последовательность x * ( r k ), k =0,1,... , генерируемая     данным
методом не всегда сходится к решению x * . Для частных случаев, например,
когда x * - локальное единственное решение и функции f ( x ) и g j ( x )
непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x * , последовательность
x * ( r k ), k =0,1,... сходится к x * . С ростом параметра r k генерируемые
алгоритмом точки приближаются к       x * извне множества допустимых
решений. При решении задач процедура расчетов завершается при некотором