Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

58
конечном значении параметра
штрафа
r
k
. Полученное при этом
приближенное решение, как правило, не лежит в множестве допустимых
точек.
Пример 1. Найти минимум в задаче
x
x
2
4
−
→
min
x
−
≤
1
0
Решение. Запишем в общем виде (при произвольном )
k
r
вспомогательную задачу для данной задачи с ограничениями неравенствами
{}
[]
2
2
)}1(,0max
2
4),( −+−= x
r
xxrxF
k
k
.
Найдем в общем виде минимум функции ),(
k
rxF с помощью
необходимых и достаточных условий:
>−=−+−=
≤−=−=
01,0)1(42
),(
01,042
),(
xxrx
dx
rxdF
xx
dx
rxdF
k
k
k
.
Отсюда
k
k
k
r
r
rx
+
+
=
2
4
)(
*
, причем 01)(
*
>−
k
rx при 0≥
k
r . Полученная
точка удовлетворяет достаточному условию минимума, так как
02
),(
2
*2
>+=
k
kk
r
dx
rrxFd
.
По полученной формуле проведем численные расчеты при
∞= ;1000;100;10;2;1
k
r
k
k
r
)(
* k
rx
kk
rrxF ),(
*
0 1 5/3 -3,66
1 2 3/2 -3,5
2 10 7/6 -3,166
3 100 52/51 -3,019
4 1000 502/501 -3,002
5
∞
1 -3
x* )()(
**
1x2x
1 2 
                                                58
конечном            значении                    параметра штрафа r k . Полученное при этом
приближенное решение, как правило, не лежит в множестве допустимых
точек.
      Пример 1. Найти минимум в задаче
                                                     x 2 −4 x → min
                                                         x −1 ≤0
      Решение. Запишем в общем виде (при произвольном r k )
вспомогательную задачу для данной задачи с ограничениями неравенствами
                                                                rk
                                     F ( x, r k ) =x 2 −4 x + [max{0, ( x −1)}}]2 .
                                                                 2
      Найдем в общем виде минимум функции F ( x, r k ) с помощью
необходимых и достаточных условий:
                        � dF ( x, r k )
                         �                         =2 x −4 =0,               x −1 ≤0
                           �            dx
                             �                 k
                                                                                        .
                               �    dF ( x , r   )
                                 ��                =2 x −4 +r k ( x −1) =0, x −1 >0
                                        dx
                                         4 +r k
      Отсюда x (r ) = * k
                                                 k
                                                   , причем x * (r k ) −1 >0 при r k ≥0 . Полученная
                                         2 +r
точка удовлетворяет достаточному условию минимума, так как
      (            )
d 2 F x * (r k ), r k
                       =2 +r k >0 .
           2
       dx
      По полученной формуле проведем численные расчеты                                           при
 k
r =1; 2; 10; 100; 1000; ∞

          k               rk                x * (r k )        (
                                                            F x * ( r k ), r k   )
          0               1                    5/3              -3,66
          1               2                    3/2               -3,5
          2               10                   7/6             -3,166
          3              100                52/51              -3,019
          4              1000              502/501             -3,002
          5               ∞                     1                  -3

               x* x * (2) x * (1)
               1            2

Страницы