Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

59
При
∞
→
k
r
имеем
*
lim x1
r
2
r4
k
k
r
k
==
+
+
∞→
. Если бы в этой задаче положить
01
0
=
ε
, то алгоритм закончит свою работу при
1000
r
k
=
, так как
(
)
Pxrr
kk*
(), ≤ ε . В качестве решения будет принята недопустимая точка
0019911000x ,)(
*
= .
Пример 2. Найти минимум в задаче
min→+
2
2
2
1
xx
01x
1
=
+
−
02xx
21
≤
−
+
Решение. В данной задаче одно ограничение равенство и одно
ограничение неравенство, т.е.
1
p
1
m
=
=
. Составим вспомогательную
функцию :
[]
{}
[]
[
]
2
21
2
1
k
2
2
2
1
k
2xx01x
2
r
xxrxF )(,max),( −++−++= .
С помощью необходимых и достаточных условий найдем безусловный
минимум
),(
k
rxF
. Выпишем необходимые условия безусловного
экстремума:
,
),(
),()(
),(
≤−+−+
>−+−++−+
==
∂
∂
02xx1xrx2
02xx2xxr1xrx2
0
x
rxF
211
k
1
2121
k
1
k
1
1
k
≤−+
>−+−++
==
∂
∂
02xxx2
02xx2xxrx2
0
x
rxF
212
2121
k
2
2
k
,
),(
),(
.
При 02xx
21
>
−
+
получим
,
)(
)(
)(
*
4r6r
r6r
rx
k2k
k2k
k
1
++
+
=
4r6r
r4r
rx
k2k
k2k
k
2
++
+
=
)(
)(
)(
*
.
Однако при всех 0≥
k
r имеем ,
)(
)()(
**
0
4r6r
8r2
2rxrx
k2k
k
k
2
k
1
<
++
−−
=−+ что
противоречит условию
02xx
21
>
−
+
для рассматриваемого случая .
При 02xx
21
≤
−
+
получим
0rx
r
2
r
rx
k
2
k
k
k
1
=
+
= )(,)(
**
. Проведем
по этом формулам численные расчеты . 
                                                   59




       k                 4 +r k
При r → ∞ имеем lim           k
                                =1 =x* . Если бы в этой задаче положить
                   r → ∞ 2 +r
                    k

ε =0,01 , то алгоритм закончит свою работу при r k =1000 , так как
  (           )
P x * (r k ), r k ≤ε . В качестве решения будет принята недопустимая точка
x * (1000 ) =1,00199 .
       Пример 2. Найти минимум в задаче
                                                  x12 +x 22 → min
                                                     −x1 +1 =0
                                                  x1 +x 2 −2 ≤0
        Решение. В данной задаче одно ограничение равенство и одно
ограничение неравенство, т.е. m =1, p =1 . Составим вспомогательную
функцию:

                                          [    rk
              F ( x, r k ) =x12 +x 22 + [x1 −1]2 +[max{0, ( x1 +x 2 −2)}]2 .
                                                 2
                                                                                                 ]
С помощью необходимых и достаточных условий найдем безусловный
минимум F ( x, r k ) . Выпишем необходимые условия безусловного
экстремума:
∂F ( x, r k )         �� 2 x1 +r k ( x1 −1) +r k ( x1 +x 2 −2),        x1 +x 2 −2 >0
              =0 =�                                                                  ,
     ∂x1                �� 2 x1 +r k ( x1 −1),                        x1 +x 2 −2 ≤0
              ∂F ( x, r k )           � 2 x 2 +r k ( x1 +x 2 −2),  x1 +x 2 −2 >0
                               =0 =�                                               .
                   ∂x 2                � 2 x 2 ,                  x 1  + x 2 −2 ≤0
      При x1 +x 2 −2 >0 получим
                             (r k ) 2 +6 r k                             ( r k ) 2 +4 r k
              x1* (r k   )= k 2            ,           x 2* ( r k )   = k 2           .
                           ( r ) +6 r k +4                             (r ) +6 r k +4
                         k                                                           −2 r k −8
Однако при всех r ≥0 имеем              x1* (r k   )   +x 2* (r k     ) −2 =                         <0, что
                                                 (r k ) 2 +6 r k +4
противоречит условию x1 +x 2 −2 >0 для рассматриваемого случая.
                                                                       rk
      При x1 +x 2 −2 ≤0 получим                    x1* ( r k ) =             k
                                                                                 , x 2* ( r k ) =0 . Проведем
                                                                      2 +r
по этом формулам численные расчеты.

Страницы