Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
2
d
2
y
dx
2
+ x
dy
dx
+
x
2
− ν
2
y = 0 ,
x
2
d
2
y
dx
2
+ x
dy
dx
−
x
2
+ ν
2
y = 0 .
x −x
y(x)
x = 0
y(x)
d
dx
x
dy
dx
!
+
x −
ν
2
x
y = 0
d
2
dx
2
Y +
1 −
ν
2
−
1
4
x
2
Y = 0 , y(x) =
1
√
x
Y (x) ,
y(x) Y (x)
y(x) = C
1
Z
(1)
ν
(x) + C
2
Z
(2)
ν
(x)
                                ËÅÊÖÈß I.
    Öèëèíäðè÷åñêèå ôóíêöèè êàê ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ
              äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ

                1.1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ,
                  îïðåäåëÿþùèå ôóíêöèè Áåññåëÿ

      ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå øèðîêî èçâåñòíû äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-
íåíèå, íàçâàííîå â ÷åñòü íåìåöêîãî àñòðîíîìà, ãåîäåçèñòà è ìàòåìàòèêà Ôðè-
äðèõà Âèëüãåëüìà Áåññåëÿ (Bessel) (1784-1846)
                       d2 y     dy  2
                      2                    2
                                                                       (1)
                                             
                     x      + x    + x − ν     y = 0,
                       dx2      dx
è ìîäèôèöèðîâàííàÿ âåðñèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ
                          d2 y     dy  2
                     x2                       2
                                                                       (2)
                                                
                               + x    − x + ν     y = 0.
                          dx2      dx
Ïðè çàìåíå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x íà −x ñòðóêòóðà ýòèõ óðàâíåíèé îñòà-
åòñÿ íåèçìåííîé, ïîýòîìó â äàëüíåéøåì áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî èñêîìàÿ ôóíê-
öèÿ y(x) îïðåäåëåíà íà ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè äåéñòâèòåëüíîé îñè. Ïîñêîëüêó
êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè x = 0, ýòà
òî÷êà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îñîáàÿ äëÿ äàííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé [6], à çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y(x) â íóëå èññëåäóþòñÿ ñïåöèàëüíî äëÿ êàæäîãî
èç ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ. Øèðîêî èçâåñòíû òàêæå ñàìî-
ñîïðÿæåííàÿ ôîðìà çàïèñè óðàâíåíèÿ (1)
                                       ν2 
                                                 
                           d   dy
                                  !
                             x    + x−
                                           y=0                        (3)
                          dx   dx      x
è óðàâíåíèå ñ èñêëþ÷åííîé ïðîèçâîäíîé ïåðâîãî ïîðÿäêà
                        ν 2 − 14
                                  
              d2
                     
                                                          1
                 Y + 1−
                                     Y   = 0,   y(x) = √ Y (x) ,     (4)
             dx2          x2                               x
êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç (1) óêàçàííîé çàìåíîé ôóíêöèè y(x) íà Y (x).
     Óðàâíåíèå Áåññåëÿ (1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà â îáûêíîâåííûõ ïðîèçâîäíûõ, îáùåå ðåøåíèå êî-
òîðîãî åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ

                      y(x) = C1 Zν(1) (x) + C2 Zν(2) (x)               (5)

                                           4

Страницы