Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
σ
σ
x = 0
x
x
σ
∞
X
m=0
x
m
a
m
h
(σ + m)
2
− ν
2
i
+
∞
X
m=0
x
m+2
a
m
= 0 .
a
m
a
0
h
σ
2
− ν
2
i
= 0 (m = 0) ,
a
1
h
(σ + 1)
2
− ν
2
i
= 0 (m = 1) ,
a
m
h
(σ + m)
2
− ν
2
i
+ a
m−2
= 0 (m ≥ 2) .
σ = −
1
2
a
0
6= 0 σ 6= −
1
2
σ = ±ν
a
1
(2σ + 1) = 0 a
1
= 0
a
2m+1
= 0
y(x) → x
±ν
a
0
+ a
2
x
2
+ ... + a
2m
x
2m
+ ...
.
a
1
6= 0 σ 6= −
1
2
σ=−1 ± ν
a
0
(2σ+1)=0 a
0
= 0 a
2m
= 0
y(x) → x
±ν−1
a
1
x + a
3
x
3
+ ... + a
2m+1
x
2m+1
+ ...
.
a
2m
← · → a
2m+1
σ = ±ν 6= −
1
2
a
0
6= 0 a
1
6= 0
Ìíîæèòåëü xσ ñ íåèçâåñòíûì ïîêà çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà σ îïðåäåëÿåò ïîâå-
äåíèå äàííîãî ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè x = 0. Ðàçëîæåíèå (9)
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Áåññåëÿ, åñëè äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
                                                                        
                       ∞                                    ∞
                                                                                    (10)
                    X                                                   
                 xσ      xm am (σ          + m)2 − ν 2 +         xm+2 am  = 0 .
                               h                        i   X

                      m=0                                   m=0

 ñèëó ôóíêöèîíàëüíîé íåçàâèñèìîñòè ñòåïåííûõ ôóíêöèé ñ ðàçëè÷íûìè
ïîêàçàòåëÿìè ðàâåíñòâî (10) îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì, åñëè êîýôôèöèåíòû
ðàçëîæåíèÿ am ñâÿçàíû ðåêóððåíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè

                                a0 σ 2 − ν 2 = 0 (m = 0) ,                          (11)
                                        h       i



                            a1 (σ + 1)2 − ν 2 = 0                                   (12)
                                h                   i
                                                            (m = 1) ,
                     am (σ + m)2 − ν 2 + am−2 = 0                                   (13)
                            h                   i
                                                                   (m ≥ 2) .
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òîò ôàêò, ÷òî ïðè σ = − 12 êâàäðàòíûå ñêîáêè â (11)
è (12) ñîâïàäàþò, ïîýòîìó ïðè èññëåäîâàíèè îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (11)-(13)
åñòåñòâåííî âûäåëèòü ñëåäóþùèå òðè ñëó÷àÿ.
(i) a0 6= 0, σ 6= − 21 .
 ýòîì ñëó÷àå èç (11) ñëåäóåò, ÷òî σ = ±ν , ñîîòíîøåíèå (12) ïðèíèìàåò âèä
a1 (2σ + 1) = 0, îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî a1 = 0. Òîãäà â ñèëó (13) âñå êîýô-
ôèöèåíòû ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè îáðàùàþòñÿ â íóëü, a2m+1 = 0, è èñêîìîå
ðàçëîæåíèå ïðèíèìàåò âèä

                     y(x) → x±ν a0 + a2 x2 + ... + a2m x2m + ... .                  (14)
                                                                          



(ii) a1 6= 0, σ 6= − 21 .
 ýòîì ñëó÷àå èç (12) ñëåäóåò, ÷òî σ=−1 ± ν , ñîîòíîøåíèå (11) ïðèíèìàåò
âèä a0 (2σ+1)=0 è, ñëåäîâàòåëüíî, a0 = 0, a2m = 0, è èñêîìîå ðàçëîæåíèå
ïðåâðàùàåòñÿ â

                y(x) → x±ν−1 a1 x + a3 x3 + ... + a2m+1 x2m+1 + ... .               (15)
                                                                              



Î÷åâèäíî, ýòî ðàçëîæåíèå îòëè÷àåòñÿ îò (14) òîëüêî ôîðìàëüíîé çàìåíîé
êîýôôèöèåíòîâ a2m ← · → a2m+1 . Èíûìè ñëîâàìè, åñëè σ = ±ν 6= − 21 ,
òðåáîâàíèÿ a0 6= 0 è a1 6= 0 äàþò èäåíòè÷íûé ðåçóëüòàò.

                                                    6

Страницы