Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
(1)
ν
(x) Z
(2)
ν
(x)
C
1
C
2
Z
(1)
ν
(x) Z
(2)
ν
(x)
ν
Z
ν
(x)
Z
−ν
(x)
ν
2
Z
(1)
ν
(x) Z
(2)
ν
(x)
W[Z
(1)
ν
, Z
(2)
ν
] ≡ Z
(1)
ν
(x)
d
dx
Z
(2)
ν
(x) − Z
(2)
ν
(x)
d
dx
Z
(1)
ν
(x)
W(x) =
C
ν
x
,
C
ν
ν
x
d
dx
[xW] = W + x
Z
(1)
ν
d
2
dx
2
Z
(2)
ν
− Z
(2)
ν
d
2
dx
2
Z
(1)
ν
= 0 .
Z
(1)
ν
Z
(2)
ν
y(x) = x
σ
·
∞
X
m=0
a
m
x
m
.
äâóõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé Zν(1) (x) è Zν(2) (x) ñ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿí-
íûìè C1 è C2 [6]. Ôóíêöèè Zν(1) (x) è Zν(2) (x) îòíîñÿòñÿ ê êëàññó     öèëèíäðè÷å-

ñêèõ   ôóíêöèé, ñàìûìè èçâåñòíûìè ñðåäè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè Áåññå-
ëÿ (Bessel), Âåáåðà-Øëåôëè (Weber, Schl
                                       ai), Õàíêåëÿ (Hankel), Ìàêäîíàëü-
äà (MacDonald), Êåëüâèíà (Kelvin), Íåéìàíà (Neumann), Àíãåðà (Anger),
Áóðæå (Bourget), Äæóëèàíè (Giuliani), Ñòðóâå (Struve), Ëîììåëÿ (Lommel)
[1,2]. Ïàðàìåòð ν , ïîÿâëÿþùèéñÿ â óðàâíåíèè Áåññåëÿ, íàñëåäóåòñÿ â îáîçíà-
÷åíèÿõ è íàçûâàåòñÿ      èíäåêñîì       öèëèíäðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Åñëè Zν (x) óäî-
âëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Áåññåëÿ, òî Z−ν (x) òàêæå ÿâëÿåòñÿ åãî ðåøåíèåì, ïî-
ñêîëüêó èñõîäíûå óðàâíåíèÿ ñîäåðæàò ν 2 . Â ñèëó òîãî, ÷òî ôóíäàìåíòàëüíûå
ðåøåíèÿ Zν(1) (x) è Zν(2) (x) ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû, äå-
òåðìèíàíò Âðîíñêîãî (Wronski)
                                  d (2)                d
             W[Zν(1) , Zν(2) ] ≡ Zν(1) (x)
                                    Zν (x) − Zν(2) (x) Zν(1) (x)   (6)
                                 dx                   dx
îòëè÷åí îò íóëÿ âî âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé. Îïèðàÿñü íà
èçâåñòíóþ èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ôîðìóëó Ëèóâèëëÿ [6],
äåòåðìèíàíò Âðîíñêîãî äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ ôóíêöèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå
                                        Cν
                                        W(x) =
                                           ,                            (7)
                                        x
ãäå Cν - ýòî êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, îò èíäåêñà ν . ×òîáû ïðî-
âåðèòü ýòîò ðåçóëüòàò, íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ îò äå-
òåðìèíàíòà Âðîíñêîãî, äîìíîæåííîãî íà x, ðàâíà íóëþ:
                                    2               2
                                                                 
               d               (1) d          (2) d
                 [xW] = W + x Zν
                             
                                     2
                                        (2)
                                       Zν − Z ν      2
                                                       Zν(1)  = 0 .           (8)
              dx                  dx             dx
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âûðàçèòü âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèé Zν(1) è Zν(2)
÷åðåç ïåðâûå ïðîèçâîäíûå è ñàìè ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (1).

       1.2. Ïðåäñòàâëåíèå öèëèíäðè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ
                        îáîáùåííûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ

                  1.2.1. Ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà

       Ïðåäñòàâèì ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) â âèäå ðÿäà
                                                 ∞
                                y(x) = xσ ·            am x m .                (9)
                                                 X

                                                 m=0

                                             5

Страницы