Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

σ = −
1
2
a
0
h
ν
2
−
1
4
i
= 0
a
1
h
ν
2
−
1
4
i
= 0 a
0
6= 0 ν = ±1/2 a
1
6= 0 ν = ±1/2
ν
2
=
1
4
y(x) = C
1
cos x
√
x
+ C
2
sin x
√
x
,
σ=+ν
a
1
a
0
a
2m
=(−1)
a
2m−2
2
2
m(ν+m)
=(−1)
2
a
2m−4
2
4
m(m−1)(ν+m)(ν+m−1)
= ...
= (−1)
m
a
0
2
2m
m! (ν+m)(ν+m−1)...(ν+1)
.
a
0
Γ(ν)
Γ(ν) ≡
∞
Z
0
dt e
−t
t
ν−1
,
ν > 0
Γ(ν + 1) = νΓ(ν)
ν = m
Γ(m + 1) = m! .
m = 0 Γ(1) = 1
Γ
1
2
=
√
π
(iii) σ = − 12 .
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (11) è (12) ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó a0 ν 2 −         = 0,
                                                                     h
                                                                           1
                                                                               i
                                                                           4
a1 ν 2 − 14 = 0. Åñëè a0 6= 0 è ν = ±1/2 èëè a1 6= 0 è ν = ±1/2, òî ïðåäû-
   h       i


äóùèå ëîãè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ íåñïðàâåäëèâû. Àíàëèç âûäåëåííîãî ñëó÷àÿ
ν 2 = 41 óäîáíî óïðîñòèòü, îáðàòèâøèñü ê óðàâíåíèþ (4). Î÷åâèäíî, ÷òî îáùåå
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ (1) âûðàæàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ÷åðåç ýëåìåíòàð-
íûå ôóíêöèè
                                 cos x    sin x
                       y(x) = C1 √ + C2 √ ,                                        (16)
                                    x        x
ïîäðîáíûé àíàëèç ýòîãî ñëó÷àÿ ìû ïðîâåä¼ì â ðàçäåëå 2.1.3.
       Âåðíåìñÿ ê ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèÿì (13), âûáåðåì äëÿ îïðåäåëåí-
íîñòè ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå σ=+ν è áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûì íóëþ êîýôôè-
öèåíò a1 . Òîãäà âñå êîýôôèöèåíòû ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç
a0 :
                    a2m−2        2          a2m−4
          a2m =(−1)         =(−1)                             = ...
                 22 m(ν+m)         24 m(m−1)(ν+m)(ν+m−1)
                                        a0
                = (−1)m 2m                             .             (17)
                          2 m! (ν+m)(ν+m−1)...(ν+1)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáîñíîâàòü âûáîð ñâîáîäíîãî ïàðàìåòðà a0 , âñïîìíèì îïðå-
äåëåíèå è íåêîòîðûå ñâîéñòâà ãàììà-ôóíêöèè Γ(ν).
ÑÏÐÀÂÊÀ Î ÃÀÌÌÀ ÔÓÍÊÖÈßÕ

Ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà (Euler) îïðåäåëåíà íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì
                                    Z∞
                           Γ(ν) ≡        dt e−t tν−1 ,                             (18)
                                    0

êîòîðûé ñõîäèòñÿ ïðè ν > 0 (çäåñü è íèæå àðãóìåíò ãàììà-ôóíêöèè ðàññìàò-
ðèâàåòñÿ êàê äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà). Èç ïåðâîãî çàìå÷àòåëüíîãî ñâîéñòâà
ýòîé ôóíêöèè [2,3]
                             Γ(ν + 1) = νΓ(ν)                                      (19)

ñëåäóåò, ÷òî ïðè öåëîì çíà÷åíèè ν = m ãàììà-ôóíêöèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç
ôàêòîðèàë
                             Γ(m + 1) = m! .                                       (20)

Ïðè m = 0 ïîëó÷àåì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî Γ(1) = 1. Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì èí-
                                              √
òåãðàëà (18) íàõîäèì òàêæå, ÷òî Γ                 π . Âòîðîå çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî
                                     
                                     1
                                     2    =

                                         7

Страницы