Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
J
ν
(x) J
−ν
(x)
C
ν
C
ν
= xW = lim
x→0
(
x
"
J
ν
d
dx
J
−ν
− J
−ν
d
dx
J
ν
#)
.
J
ν
(x → 0) '
x
2
!
ν
1
Γ(ν+1)
, J
−ν
(x → 0) '
x
2
!
−ν
1
Γ(−ν+1)
,
C
ν
= −
2ν
Γ(ν+1)Γ(−ν+1)
= −
2
π
sin πν .
W[J
ν
, J
−ν
]
sin πν = 0 ν = n
J
−n
(x)
m = n
J
−n
(x) =
∞
X
m=n
(−1)
m
x
2
2m−n
Γ(m+1)Γ(−n+m+1)
.
l = m − n
J
−n
(x) =
∞
X
l=0
(−1)
l+n
x
2
2l+n
Γ(l+1)Γ(n+l+1)
,
J
−n
(x) = (−1)
n
J
n
(x) .
J
n
(x) J
−n
(x)
Ýòîò ïðåäåë ðàâåí íóëþ, òî åñòü, îí ìåíüøå åäèíèöû äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åí-
íîãî çíà÷åíèÿ x, ÷òî è äîêàçûâàåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà.
     Äëÿ òîãî, ÷òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ: ìîãóò ëè ôóíêöèè Jν (x) è J−ν (x)
áûòü âûáðàíû â êà÷åñòâå ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Áåñ-
ñåëÿ, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü îáðàùàåòñÿ ëè â íóëü îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî.
Ýòà çàäà÷à ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (7) ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ êîíñòàíòû Cν
ïî ñëåäóþùåìó èçâåñòíîìó ðåöåïòó:
                                    d         d
                                       (   "                      #)
                 Cν = xW = lim x Jν J−ν − J−ν Jν                           .       (28)
                           x→0     dx        dx
Ïîñêîëüêó ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ïåðâû-
ìè ñëàãàåìûìè â ðàçëîæåíèÿõ (25) è (26)
                          !ν                                     !−ν
                      x           1                          x            1
         Jν (x → 0) '                 ,        J−ν (x → 0) '                   ,   (29)
                      2        Γ(ν+1)                        2         Γ(−ν+1)
äàííàÿ êîíñòàíòà ëåãêî íàõîäèòñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì
                                     2ν         2
                   Cν = −                    = − sin πν .                          (30)
                               Γ(ν+1)Γ(−ν+1)    π
Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî W[Jν , J−ν ] îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè
sin πν = 0, òî åñòü, èíäåêñ ôóíêöèè Áåññåëÿ ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì ν = n.
Óñòàíîâèòü ýòîò ôàêò ìîæíî è èíà÷å. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Áåññåëÿ öåëî-
ãî îòðèöàòåëüíîãî èíäåêñà J−n (x). Â ñèëó ñâîéñòâà (22) ãàììà-ôóíêöèè ñ
îòðèöàòåëüíûì àðãóìåíòîì ïðèíèìàþò áåñêîíå÷íî áîëüøèå çíà÷åíèÿ, îáðà-
ùàÿ â íóëü ñîîòâåòñòâóþùèå ñëàãàåìûå â ðàçëîæåíèè (26). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
ñóììèðîâàíèå â äàííîì ðÿäå ðåàëüíî íà÷èíàåòñÿ ñî çíà÷åíèÿ m = n:
                                                     2m−n
                                ∞                    x
                                     (−1)m           2
                                                                                   (31)
                                X
                 J−n (x) =                                             .
                               m=n             Γ(m+1)Γ(−n+m+1)
Ââîäÿ íîâûé èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ l = m − n, ïåðåïèøåì äàííóþ ôîðìóëó
â âèäå                                               2l+n
                                 ∞                   x
                                     (−1)l+n         2
                                                                                   (32)
                                 X
                   J−n (x) =                                      ,
                                 l=0 Γ(l+1)Γ(n+l+1)
îòêóäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ëèíåéíîå ñîîòíîøåíèå

                                J−n (x) = (−1)n Jn (x) .                           (33)

Ôóíêöèè Áåññåëÿ Jn (x) è J−n (x) öåëîãî èíäåêñà ëèíåéíî çàâèñèìû.

                                               9

Страницы