Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Γ(ν)Γ(1 − ν) =
π
sin πν
Γ(1)Γ(0)=
π
sin π
Γ(0)=∞
Γ(−m) =
Γ(−m + 1)
−m
= ... = (−1)
m
Γ(0)
m!
= ∞.
a
0
a
0
=
1
2
ν
Γ(ν + 1)
a
2m
a
2m
= (−1)
m
1
2
2m+ν
Γ(m+1) Γ(ν+m+1)
.
ν
J
ν
(x) =
∞
X
m=0
(−1)
m
x
2
2m+ν
Γ(m+1)Γ(ν+m+1)
.
ν −ν
−ν
J
−ν
(x) =
∞
X
m=0
(−1)
m
x
2
2m−ν
Γ(m+1)Γ(−ν+m+1)
.
J
ν
(x) J
−ν
(x)
q(x)= lim
m→∞
x
2
!
2
m! Γ(ν+m+1)
(m+1)! Γ(ν+m+2)
=
=
x
2
!
2
lim
m→∞
1
(m+1)(ν+m+1)
= 0 .
ãàììà-ôóíêöèè
                                             π
                              Γ(ν)Γ(1 − ν) =                             (21)
                                          sin πν
ïîçâîëÿåò, â ÷àñòíîñòè, çàìåòèòü, ÷òî Γ(1)Γ(0)= sinπ π , èëè Γ(0)=∞. Òîãäà èç
ïåðâîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò, ÷òî
                     Γ(−m + 1)                 Γ(0)
               Γ(−m) =           = ... = (−1)m      = ∞.         (22)
                         −m                     m!
Ó÷èòûâàÿ ïåðå÷èñëåííûå ñâîéñòâà ãàììà-ôóíêöèé, âûáåðåì a0 â âèäå
                                              1
                                 a0 =                                    (23)
                                         2ν Γ(ν + 1)
è ïðèâåäåì êîýôôèöèåíòû a2m â (17) ê êîìïàêòíîìó âèäó
                                                  1
                  a2m = (−1)m                                 .          (24)
                                    22m+ν     Γ(m+1) Γ(ν+m+1)
 ðåçóëüòàòå òàêèõ ïîñòðîåíèé ìû ïîëó÷èëè ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè Áåññåëÿ
ïåðâîãî ðîäà èíäåêñà ν
                                                   2m+ν
                              ∞                    x
                                    (−1)m          2
                                                                         (25)
                              X
                   Jν (x) =                                   .
                              m=0            Γ(m+1)Γ(ν+m+1)
Ôîðìàëüíàÿ çàìåíà ν íà −ν äàåò ôóíêöèþ Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà îòðèöà-
òåëüíîãî èíäåêñà −ν
                                                   2m−ν
                              ∞                    x
                                  (−1)m            2
                                                                         (26)
                              X
                 J−ν (x) =                                        .
                              m=0            Γ(m+1)Γ(−ν+m+1)
Ôóíêöèè Jν (x) è J−ν (x) îòíîñÿòñÿ ê êëàññó öèëèíäðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ïî-
ñêîëüêó ñîãëàñíî ïðèíöèïó èõ ïîñòðîåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ Áåññå-
ëÿ.
      Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû, ïðåäñòàâëÿþùèå ôóíêöèè Áåññåëÿ (25) è (26),
àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ íà ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè äåéñòâèòåëüíîé
îñè. ×òîáû äîêàçàòü ýòîò ôàêò, èñïîëüçóåì ïðèçíàê Äàëàìáåðà (D'Alembert)
è âû÷èñëèì ïðåäåë ìîäóëÿ îòíîøåíèÿ âåëè÷èíû ïîñëåäóþùåãî ñëàãàåìîãî â
ñóììå (25) ê âåëè÷èíå ïðåäûäóùåãî:
                                        !2
                                    x          m! Γ(ν+m+1)
                  q(x)= m→∞
                         lim                                 =
                                    2        (m+1)! Γ(ν+m+2)
                            !2
                        x                     1
                      =          lim
                                 m→∞
                                                     = 0.                (27)
                        2               (m+1)(ν+m+1)
                                              8

Страницы