Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Лекция №1. Квантовое описание свободного
движения
Волна де Бройля
Попытки применить классическую механику к описанию движе-
ния микрочастиц, как правило, не приводят к успеху. Опыты по ди-
фракции электронов указывают на необходимость отказа от траек-
торий. Следовательно мы не можем в любой момент t приписать
частице определенное положение r. Вместо этого мы вводим волно-
вую функцию Ψ(r, t). По определению |Ψ(r, t)|
2
d
3
r – это вероятность
того, что в момент t частица находится в объеме d
3
r вблизи r.
Функция |Ψ|
2
тогда – плотность вероятности. Функция Ψ – ам-
плитуда плотности вероятности или, просто, амплитуда вероятности.
Условие нормировки волновой функции имеет вид
Z
R
3
|Ψ(r, t)|
2
d
3
r = 1.
Гипотеза де Бройля состоит в том, что свободной частице соот-
ветствует волновая функция вида (волна де Бройля)
Ψ(r, t) = Ψ
0
e
i
pr−Et
~
.
Но при таком описании свободной частицы возникают две трудности.
1) Интеграл
Z
R
3
|Ψ(r, t)|
2
d
3
r = |Ψ
0
|
2
Z
R
3
d
3
r
не сходится.
2) Пусть v – классическая скорость частицы. Тогда фазовая ско-
рость волны де Бройля (а никакой другой скорости у волны де Брой-
ля нет)
v
ф
=
ω
k
=
E
p
не совпадает с v. Действительно, в нерелятивистском случае
E =
p
2
2m
⇒ v
ф
=
p
2m
=
v
2
,
3
Лекция №1. Квантовое описание свободного
           движения

   Волна де Бройля

   Попытки применить классическую механику к описанию движе-
ния микрочастиц, как правило, не приводят к успеху. Опыты по ди-
фракции электронов указывают на необходимость отказа от траек-
торий. Следовательно мы не можем в любой момент t приписать
частице определенное положение r. Вместо этого мы вводим волно-
вую функцию Ψ(r, t). По определению |Ψ(r, t)|2 d3 r – это вероятность
того, что в момент t частица находится в объеме d3 r вблизи r.
   Функция |Ψ|2 тогда – плотность вероятности. Функция Ψ – ам-
плитуда плотности вероятности или, просто, амплитуда вероятности.
   Условие нормировки волновой функции имеет вид
                         Z
                           |Ψ(r, t)|2 d3 r = 1.
                           R3

   Гипотеза де Бройля состоит в том, что свободной частице соот-
ветствует волновая функция вида (волна де Бройля)
                                             pr−Et
                           Ψ(r, t) = Ψ0 ei     ~     .

Но при таком описании свободной частицы возникают две трудности.
   1) Интеграл     Z                    Z
                         |Ψ(r, t)|2 d3 r = |Ψ0 |2        d3 r
                    R3                              R3
не сходится.
   2) Пусть v – классическая скорость частицы. Тогда фазовая ско-
рость волны де Бройля (а никакой другой скорости у волны де Брой-
ля нет)
                                ω    E
                           vф = =
                                k    p
не совпадает с v. Действительно, в нерелятивистском случае

                          p2                      p  v
                   E=             ⇒       vф =      = ,
                          2m                     2m  2
                                      3

Страницы