Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

тогда как в релятивистском случае
E =
p
p
2
c
2
+ m
2
c
4
⇒ v
ф
=
E
p
=
s
c
2
+
m
2
c
4
p
2
> c.
Поэтому, не отказываясь от волны де Бройля, наметим иной (более
глубокий) подход к описанию свободной частицы.
Суперпозиция волн де Бройля
Пусть частица летит вдоль оси Ox, т.е. p||Ox. Тогда одномерная
волна де Бройля имеет вид
Ψ(x, t) = Ψ
0
e
i
px−Et
~
,
где p – импульс, E – энергия. Предположим, что уравнение для
волновой функции является линейным. Тогда суперпозиция волн де
Бройля также является волновой функцией. Складывая (интегри-
руя) волны де Бройля с весами C(p), получаем волновую функцию
вида:
Ψ(x, t) =
+∞
Z
−∞
C(p)Ψ
0
e
i
px−Et
~
dp.
Такую волновую функцию называют волновым пакетом.
Исследуем интеграл от квадрата модуля волнового пакета:
+∞
Z
−∞
|Ψ(x, t)|
2
dx =
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
C
∗
(p
0
)Ψ
∗
0
e
−i
p
0
x−E
0
t
~
dp
0
×
×
+∞
Z
−∞
C(p)Ψ
0
e
i
px−E t
~
dp
dx =
= |Ψ
0
|
2
+∞
Z
−∞
dp
0
+∞
Z
−∞
dp C
∗
(p
0
)C(p)e
i
(E
0
−E)t
~
+∞
Z
−∞
e
i
(p−p
0
)x
~
dx =
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
т. к.
+∞
Z
−∞
e
i
(p−p
0
)x
~
dx = 2π~ δ(p − p
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
4
тогда как в релятивистском случае
                                                                       s
            p                                            E                         m2 c4
       E=           p2 c2 + m2 c4           ⇒       vф =   =             c2 +            > c.
                                                         p                          p2
Поэтому, не отказываясь от волны де Бройля, наметим иной (более
глубокий) подход к описанию свободной частицы.

   Суперпозиция волн де Бройля

   Пусть частица летит вдоль оси Ox, т.е. p||Ox. Тогда одномерная
волна де Бройля имеет вид
                                                         px−Et
                                       Ψ(x, t) = Ψ0 ei     ~       ,
где p – импульс, E – энергия. Предположим, что уравнение для
волновой функции является линейным. Тогда суперпозиция волн де
Бройля также является волновой функцией. Складывая (интегри-
руя) волны де Бройля с весами C(p), получаем волновую функцию
вида:
                            Z
                           +∞
                                       px−Et
                 Ψ(x, t) =    C(p)Ψ0 ei ~ dp.
                                            −∞
Такую волновую функцию называют волновым пакетом.
   Исследуем интеграл от квадрата модуля волнового пакета:
                             +∞                         
       Z
      +∞                  Z
                         +∞    Z                  0   0
                                                 p x−E t
         |Ψ(x, t)|2 dx =        C ∗ (p0 )Ψ∗0 e−i ~ dp0  ×
     −∞                                −∞   −∞

        +∞                
          Z
                     px−Et
      ×    C(p)Ψ0 ei ~ dp dx =
          −∞


                     Z
                    +∞             Z
                                  +∞                                      Z
                                                                         +∞
                                                             (E 0 −E)t             (p−p0 )x
                2             0             ∗   0        i
      = |Ψ0 |            dp            dp C (p )C(p)e             ~           ei      ~       dx =
                    −∞            −∞                                     −∞

         ¯                                  ¯
         ¯       Z
                +∞                          ¯
         ¯           (p−p0 )x               ¯
      = ¯¯т. к.    ei ~ dx = 2π~ δ(p − p0 )¯¯ =
         ¯                                  ¯
                    −∞

                                                    4

Страницы