Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

= 2π~ |Ψ
0
|
2
+∞
Z
−∞
dp
0
+∞
Z
−∞
dp C
∗
(p
0
)C(p)e
i
(E
0
−E)t
~
δ(p − p
0
) =
= 2π~ |Ψ
0
|
2
+∞
Z
−∞
|C(p)|
2
dp.
Пусть Ψ
0
=
1
√
2π~
, тогда условие нормировки приобретает вид
+∞
Z
−∞
|Ψ(x, t)|
2
dx =
+∞
Z
−∞
|C(p)|
2
dp = 1.
Итак, пусть волна де Бройля – это
Ψ
p
(x, t) =
1
√
2π~
e
i
px−Et
~
.
Тогда волновой пакет имеет вид
Ψ(x, t) =
+∞
Z
−∞
C(p)Ψ
p
(x, t)dp.
Мы доказали, что при любой весовой функции C(p) такой, что
+∞
R
−∞
|C(p)|
2
dp = 1, волновой пакет нормирован на единицу. Естествен-
но предположить, что C(p) – это амплитуда вероятности того, что
частица, волновая функция которой задана волновым пакетом, об-
ладает импульсом p. Тогда |C(p)|
2
dp – это вероятность того, что при
измерении импульса частицы будет получено значение от p до p+dp.
Модельный волновой пакет
Исследуем теперь скорость движения волнового пакета. Для это-
го воспользуемся следующей моделью. Пусть функция C(p) такова,
что
C(p) =
C
0
, p ∈ (p
0
− ∆p; p
0
+ ∆p),
0, p ∈ (−∞; p
0
− ∆p)
T
(p
0
+ ∆p; +∞).
5
                           Z
                          +∞          Z
                                     +∞
                                                               (E 0 −E)t
        = 2π~ |Ψ0 |2           dp0        dp C ∗ (p0 )C(p)ei        ~      δ(p − p0 ) =
                          −∞         −∞


                           Z
                          +∞
                      2
        = 2π~ |Ψ0 |            |C(p)|2 dp.
                          −∞
               1
Пусть Ψ0 = √       , тогда условие нормировки приобретает вид
               2π~
                   Z
                  +∞                                Z
                                                   +∞
                                      2
                          |Ψ(x, t)| dx =                |C(p)|2 dp = 1.
                 −∞                             −∞

     Итак, пусть волна де Бройля – это
                                                   1     px−Et
                           Ψp (x, t) = √               ei ~ .
                                                   2π~
Тогда волновой пакет имеет вид
                                           Z
                                          +∞

                          Ψ(x, t) =            C(p)Ψp (x, t)dp.
                                          −∞

Мы доказали, что при любой весовой функции C(p) такой, что
 R
+∞
   |C(p)|2 dp = 1, волновой пакет нормирован на единицу. Естествен-
−∞
но предположить, что C(p) – это амплитуда вероятности того, что
частица, волновая функция которой задана волновым пакетом, об-
ладает импульсом p. Тогда |C(p)|2 dp – это вероятность того, что при
измерении импульса частицы будет получено значение от p до p+dp.

     Модельный волновой пакет

   Исследуем теперь скорость движения волнового пакета. Для это-
го воспользуемся следующей моделью. Пусть функция C(p) такова,
что
              
               C0 ,   p ∈ (p0 − ∆p; p0 + ∆p),
       C(p) =                             T
              
                0,     p ∈ (−∞; p0 − ∆p) (p0 + ∆p; +∞).
                                               5

Страницы