Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

И пусть ∆p ¿ p
0
(неопределенность импульса мала). Тогда в окрест-
ности p
0
справедливо
E(p) ≈ E
0
+ (p − p
0
)
µ
dE
dp
¯
¯
¯
¯
0
.
Запишем Ψ-функцию, отвечающую такой C(p):
Ψ(x, t) = C
0
p
0
+∆p
Z
p
0
−∆p
1
√
2π~
e
i
px−E t
~
dp =
=
C
0
√
2π~
p
0
+∆p
Z
p
0
−∆p
e
i
px−E
0
t−(p−p
0
)
(
dE
dp
)
0
t
~
dp =
=
C
0
√
2π~
e
i
p
0
x−E
0
t
~
p
0
+∆p
Z
p
0
−∆p
e
i
(p−p
0
)
(
x−
(
dE
dp
)
0
t
)
~
dp =
=
¯
¯
¯
¯
¯
ξ =
p − p
0
~
dp = ~ dξ
¯
¯
¯
¯
¯
=
C
0
~
√
2π~
e
i
p
0
x−E
0
t
~
∆p
~
Z
−
∆p
~
e
iξ(x−
(
dE
dp
)
0
t)
dξ =
=
C
0
~
√
2π~
e
i
p
0
x−E
0
t
~
f(x −
µ
dE
dp
0
t),
где
f(˜x) =
∆p
~
Z
−
∆p
~
e
iξ
˜
x
dξ =
1
i˜x
e
iξ
˜
x
¯
¯
¯
¯
∆p
~
−
∆p
~
=
2 sin
∆p˜x
~
˜x
.
График функции f(˜x) представлен на рисунке. Найдем отноше-
ние высот двух первых максимумов |f(˜x)|:
¯
¯
¯
¯
f
µ
3π~
2∆p
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
2 sin
¡
3
2
π
¢
(3π~)/(2∆p)
¯
¯
¯
¯
¯
=
4∆p
3π~
=
2∆p
~
µ
2
3π
≈
f(0)
5
.
6
И пусть ∆p ¿ p0 (неопределенность импульса мала). Тогда в окрест-
ности p0 справедливо
                                        µ   ¶¯
                                          dE ¯¯
                  E(p) ≈ E0 + (p − p0 )         .
                                          dp ¯0

      Запишем Ψ-функцию, отвечающую такой C(p):

                            Z
                         p0 +∆p
                                       1     px−Et
        Ψ(x, t) = C0               √       ei ~ dp =
                                       2π~
                         p0 −∆p


                    Z
                 p0 +∆p
                                                  ( dE
          C0                                        dp )0
                                px−E0 t−(p−p0 )           t

        =√                 ei             ~                     dp =
           2π~
                 p0 −∆p


                                    Z
                                 p0 +∆p
                                                         ( ( dE
          C0 i p0 x−E0 t                                     dp )0 )
                                               (p−p0 ) x−         t

        =√     e   ~                      ei               ~           dp =
           2π~
                                 p0 −∆p


         ¯                     ¯                   ∆p
                                                   Z~
         ¯     p − p0          ¯
         ¯ ξ=                  ¯  C0 ~ i p0 x−E0 t
                                                      eiξ(x−( dp )0 t) dξ =
                                                              dE
        =¯        ~            ¯= √     e    ~
         ¯ dp = ~ dξ           ¯    2π~
                                                                − ∆p
                                                                  ~

                                          µ          ¶
         C0 ~ i p0 x−E0 t                      dE
        =√     e    ~     f (x −                          t),
           2π~                                 dp    0

где
                          ∆p
                          ~Z                             ¯ ∆p
                                                 1 iξx̃ ¯¯ ~     2 sin ∆px̃
              f (x̃) =           eiξx̃ dξ =         e ¯        =         ~
                                                                            .
                                                ix̃       − ∆p        x̃
                                                                 ~
                         − ∆p
                           ~


   График функции f (x̃) представлен на рисунке. Найдем отноше-
ние высот двух первых максимумов |f (x̃)|:
     ¯ µ     ¶¯ ¯¯      ¡ ¢ ¯                 µ ¶
     ¯   3π~  ¯ ¯ 2 sin 23 π ¯¯ 4∆p        2∆p 2      f (0)
     ¯f       ¯=¯             ¯=        =          ≈        .
     ¯   2∆p ¯ ¯ (3π~)/(2∆p) ¯    3π~       ~  3π       5


                                                 6

Страницы