Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

График функции Re (Ψ(x, 0)) представлен на рисунке. Для дли-
ны волны имеем:
λ =
2π~
p
0
¿
2π~
∆p
, т.к. p
0
À ∆p.
Частица локализована преимущественно в области [x
0
−
∆x
2
; x
0
+
+
∆x
2
] шириной ∆x, где x
0
=
µ
dE
dp
0
t и ∆x =
2π~
∆p
. То есть спра-
ведливо
∆x∆p ' 2π~.
Групповая скорость волны (скорость движения области локали-
зации частицы) есть
v
гр
=
µ
dE
dp
0
.
Как в нерелятивистском случае
E =
p
2
2m
⇒ v
гр
=
p
m
= v
част
,
так и в релятивистском случае
E =
p
p
2
c
2
+ m
2
c
4
⇒ v
гр
=
c
2
p
p
p
2
c
2
+ m
2
c
4
=
c
2
p
E
= v
част
,
групповая скорость совпадает со скоростью частицы.
Замечание. В области локализации частицы волновая функция
хорошо апроксимируется волной де-Бройля.
Свойства волн де Бройля
В процессе вычисления интеграла от квадрата модуля |Ψ(x, t)|
2
волнового пакета мы получили
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
p
0
(x, t)Ψ
p
(x, t)dx =
1
2π~
e
i
(E
0
−E )t
~
+∞
Z
−∞
e
i
(p−p
0
)x
~
dx =
8
   График функции Re (Ψ(x, 0)) представлен на рисунке. Для дли-
ны волны имеем:
                           2π~   2π~
                      λ=       ¿     ,     т.к. p0 À ∆p.
                            p0   ∆p
                                                        ∆x
   Частица локализована преимущественно в области [x0 −    ; x0 +
                            µ    ¶                       2
  ∆x                          dE             2π~
+    ] шириной ∆x, где x0 =        t и ∆x =      . То есть спра-
   2                          dp 0           ∆p
ведливо
                         ∆x∆p ' 2π~.
   Групповая скорость волны (скорость движения области локали-
зации частицы) есть            µ    ¶
                                 dE
                         vгр =        .
                                 dp 0
Как в нерелятивистском случае

                            p2                   p
                      E=          ⇒      vгр =     = vчаст ,
                            2m                   m
так и в релятивистском случае
        p                                         c2 p                 c2 p
   E=      p2 c2 + m2 c4      ⇒    vгр = p                         =        = vчаст ,
                                             p2 c2 + m2 c4              E
групповая скорость совпадает со скоростью частицы.

   Замечание. В области локализации частицы волновая функция
хорошо апроксимируется волной де-Бройля.

   Свойства волн де Бройля

   В процессе вычисления интеграла от квадрата модуля |Ψ(x, t)|2
волнового пакета мы получили

       Z
      +∞                                                  Z
                                                         +∞
                                       1 i (E0 −E)t                (p−p0 )x
           Ψ∗p0 (x,   t)Ψp (x, t)dx =     e    ~              ei      ~       dx =
                                      2π~
      −∞                                                 −∞




                                       8

Страницы