Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Легко понять, что, зная Ψ(x, t), можно найти соответствующую ей
C(p), так как C(p) – это, по существу, фурье-образ волновой функции
Ψ(x, t). Действительно,
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
p
0
(x, t)Ψ(x, t)dx =
+∞
Z
−∞
C(p)
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
p
0
(x, t)Ψ
p
(x, t)dp
= C(p
0
).
Таким образом
C(p) =
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
p
(x, t)Ψ(x, t)dx.
Вычисление средних значений
По определению волновой функции, |Ψ(x, t)|
2
dx – это вероят-
ность найти частицу в интервале от x до x + dx. Тогда среднее зна-
чение координаты есть
hxi =
+∞
Z
−∞
x|Ψ(x, t)|
2
dx.
Аналогично
hpi =
+∞
Z
−∞
p|C(p)|
2
dp.
Преобразуем это выражение:
hpi =
+∞
Z
−∞
p |C(p)|
2
dp =
+∞
Z
−∞
p C
∗
(p)C(p)dp =
=
+∞
Z
−∞
p C
∗
(p)
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
p
(x, t)Ψ(x, t)dx
dp =
10
Легко понять, что, зная Ψ(x, t), можно найти соответствующую ей
C(p), так как C(p) – это, по существу, фурье-образ волновой функции
Ψ(x, t). Действительно,
                                    +∞                       
  Z
 +∞                         Z
                           +∞         Z
    Ψ∗p0 (x, t)Ψ(x, t)dx =    C(p)     Ψ∗p0 (x, t)Ψp (x, t)dp = C(p0 ).
−∞                           −∞               −∞

Таким образом
                                 Z
                                +∞

                       C(p) =           Ψ∗p (x, t)Ψ(x, t)dx.
                                −∞


   Вычисление средних значений

   По определению волновой функции, |Ψ(x, t)|2 dx – это вероят-
ность найти частицу в интервале от x до x + dx. Тогда среднее зна-
чение координаты есть

                                     Z
                                    +∞

                            hxi =        x|Ψ(x, t)|2 dx.
                                    −∞

Аналогично
                                         Z
                                        +∞

                             hpi =           p|C(p)|2 dp.
                                     −∞

Преобразуем это выражение:

                       Z
                      +∞                           Z
                                                  +∞
                                    2
             hpi =         p |C(p)| dp =               p C ∗ (p)C(p)dp =
                      −∞                          −∞

                                 +∞                    
                  Z
                 +∞                Z
             =        p C ∗ (p)     Ψ∗p (x, t)Ψ(x, t)dx dp =
                 −∞             −∞




                                             10

Страницы