Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом мы получили формулу для определения hpi, в кото-
рую входит непосредственно волновая функция Ψ(x, t).
Выпишем полученные соотношения:
hxi =
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
(x, t)(ˆx Ψ(x, t))dx, ˆx = x,
hpi =
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
(x, t)(ˆp Ψ(x, t))dx, ˆp = −i~
d
dx
.
Таким образом мы получили вид оператора координаты ˆx и опера-
тора импульса ˆp.
Замечание. При переходе от классической к квантовой механике
мы теряем однозначность определения x, p, . . ., но приобретаем вза-
имосвязи между этими физическими величинами. В классической
физике траектория и импульс точно определены и не связаны друг
с другом. В квантовой механике как траектория, так и импульс точ-
но не определены, но их распределения (амплитуды вероятностей –
Ψ(x, t) и C(p)) связаны друг с другом.
Постановка задачи на собственные функции и собствен-
ные значения операторов
Для волны де Бройля справедливо
ˆpΨ
p
(x, t) = pΨ
p
(x, t).
Задача о поиске функций Ψ
f
(q), удовлетворяющих уравнению об-
щего вида
ˆ
F Ψ
f
(q) = fΨ
f
(q),
называется задачей о нахождении собственных функций Ψ
f
(q) и от-
вечающих им собственных значений f оператора
ˆ
F . Набор всех зна-
чений {f } называется спектром оператора
ˆ
F .
Если спектр дискретен, т.е. {f} = f
1
, f
2
, . . . , f
n
, . . ., то пользу-
ются обозначением Ψ
f
n
(q) = Ψ
n
(q). Тогда
ˆ
F Ψ
n
(q) = f
n
Ψ
n
(q).
12
Таким образом мы получили формулу для определения hpi, в кото-
рую входит непосредственно волновая функция Ψ(x, t).
   Выпишем полученные соотношения:
                       Z
                      +∞

              hxi =        Ψ∗ (x, t)(x̂ Ψ(x, t))dx,      x̂ = x,
                      −∞


                       Z
                      +∞
                                                                    d
              hpi =        Ψ∗ (x, t)(p̂ Ψ(x, t))dx,    p̂ = −i~       .
                                                                   dx
                      −∞

Таким образом мы получили вид оператора координаты x̂ и опера-
тора импульса p̂.

   Замечание. При переходе от классической к квантовой механике
мы теряем однозначность определения x, p, . . ., но приобретаем вза-
имосвязи между этими физическими величинами. В классической
физике траектория и импульс точно определены и не связаны друг
с другом. В квантовой механике как траектория, так и импульс точ-
но не определены, но их распределения (амплитуды вероятностей –
Ψ(x, t) и C(p)) связаны друг с другом.

  Постановка задачи на собственные функции и собствен-
ные значения операторов

   Для волны де Бройля справедливо

                             p̂Ψp (x, t) = pΨp (x, t).

Задача о поиске функций Ψf (q), удовлетворяющих уравнению об-
щего вида
                      F̂ Ψf (q) = f Ψf (q),
называется задачей о нахождении собственных функций Ψf (q) и от-
вечающих им собственных значений f оператора F̂ . Набор всех зна-
чений {f } называется спектром оператора F̂ .
   Если спектр дискретен, т.е. {f } = f1 , f2 , . . . , fn , . . ., то пользу-
ются обозначением Ψfn (q) = Ψn (q). Тогда

                              F̂ Ψn (q) = fn Ψn (q).
                                        12

Страницы