Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

=
¯
¯
¯
¯
т. к. p Ψ
∗
p
(x, t) = i~
d
dx
Ψ
∗
p
(x, t)
¯
¯
¯
¯
=
=
+∞
Z
−∞
C
∗
(p)
i~
+∞
Z
−∞
dΨ
∗
p
(x, t)
dx
Ψ(x, t)dx
dp.
Проинтегрируем выражение в скобках по частям:
i~
+∞
Z
−∞
dΨ
∗
p
(x, t)
dx
Ψ(x, t)dx = i~ Ψ
∗
p
(x, t)Ψ(x, t)
¯
¯
¯
¯
+∞
−∞
−
−i~
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
p
(x, t)
dΨ(x, t)
dx
dx,
и учтем, что Ψ(−∞, t) = Ψ(+∞, t) = 0 в силу того, что инте-
грал
+∞
R
−∞
|Ψ(x, t)|dx конечен. Продолжаем преобразовывать выраже-
ние для hpi:
hpi =
+∞
Z
−∞
C
∗
(p)
i~
+∞
Z
−∞
dΨ
∗
p
(x, t)
dx
Ψ(x, t)dx
dp =
=
+∞
Z
−∞
C
∗
(p)
−i~
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
p
(x, t)
dΨ(x, t)
dx
dx
dp =
=
+∞
Z
−∞
(−i~)
+∞
Z
−∞
C
∗
(p)Ψ
∗
p
(x, t)dp
dΨ(x, t)
dx
dx =
= −i~
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
(x, t)
dΨ(x, t)
dx
dx =
+∞
Z
−∞
Ψ
∗
(x, t)
µ
−i~
d
dx
Ψ(x, t)dx.
11
                    ¯                                   ¯
                    ¯                        d          ¯
                 = ¯¯т. к. p Ψ∗p (x, t) = i~ Ψ∗p (x, t)¯¯ =
                                            dx
                                                                   
                       Z
                      +∞                   Z
                                          +∞
                                               dΨ∗p (x, t)
                 =         C ∗ (p) i~                     Ψ(x, t)dx dp.
                                                  dx
                     −∞                   −∞

Проинтегрируем выражение в скобках по частям:

                 Z
                +∞                                                ¯+∞
                      dΨ∗p (x, t)                                 ¯
           i~                     Ψ(x, t)dx = i~ Ψp (x, t)Ψ(x, t)¯¯
                                                  ∗
                                                                       −
                         dx                                         −∞
                −∞


                  Z
                 +∞
                                      dΨ(x, t)
           −i~           Ψ∗p (x, t)            dx,
                                        dx
                 −∞

и учтем, что Ψ(−∞, t) = Ψ(+∞, t) = 0 в силу того, что инте-
      R
     +∞
грал    |Ψ(x, t)|dx конечен. Продолжаем преобразовывать выраже-
      −∞
ние для hpi:
                                                           
            Z
           +∞                    Z
                                +∞
                                       dΨ∗p (x, t)
  hpi =         C ∗ (p) i~                        Ψ(x, t)dx dp =
                                          dx
           −∞                  −∞

                                                        
       Z
      +∞                       Z
                              +∞
                                              dΨ(x, t)
  =        C ∗ (p) −i~            Ψ∗p (x, t)          dx dp =
                                                dx
      −∞                      −∞

              +∞                    
     Z
    +∞          Z
                                       dΨ(x, t)
  =    (−i~)     C ∗ (p)Ψ∗p (x, t)dp          dx =
                                         dx
      −∞              −∞


            Z
           +∞                                     Z
                                                 +∞           µ       ¶
                  ∗      dΨ(x, t)                      ∗            d
  = −i~         Ψ (x, t)          dx =                Ψ (x, t) −i~      Ψ(x, t)dx.
                           dx                                      dx
           −∞                                    −∞


                                                11

Страницы