Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Определение:
ˆ
F
+
– оператор, эрмитово сопряженный по отно-
шению к
ˆ
F на множестве функций Ω, если
∀Φ, Ψ ∈ Ω → hΦ|
ˆ
F Ψi = h
ˆ
F
+
Φ|Ψi.
Определение: Если
ˆ
F
+
=
ˆ
F , то
ˆ
F – самосопряженный или эр-
митовый оператор.
Если
ˆ
F – эрмитовый оператор, то
hΨ|
ˆ
F Ψi = h
ˆ
F
+
Ψ|Ψi = hΨ|
ˆ
F
+
Ψi
∗
= hΨ|
ˆ
F Ψi
∗
,
то есть hΨ|
ˆ
F Ψi – действителен.
Определение:
ˆ
F называют линейным на множестве функций Ω,
если
ˆ
F (c
1
Ψ
1
+ c
2
Ψ
2
) = c
1
ˆ
F Ψ
1
+ c
2
ˆ
F Ψ
2
∀Φ, Ψ ∈ Ω, ∀c
1
, c
2
∈ C.
Постулаты
Теперь сформулируем 4 постулата квантовой механики и полу-
чим некоторые следствия из них.
I постулат. Пусть произвольной системе соответствует конфи-
гурационное пространство q = (q
1
, . . . , q
n
). Система полностью опи-
сывается волновой функцией Ψ(q, t) такой, что |Ψ(q, t)|
2
dq есть ве-
роятность обнаружить систему в dq в момент времени t.
Потребуем для волновой функции (условие нормировки)
Z
|Ψ(q, t)|
2
dq = 1 ⇔ hΨ|Ψi = 1.
II постулат. Принцип суперпозиции
а) Если Ψ
1
(q, t) – волновая функция состояния 1, а Ψ
2
(q, t) – вол-
новая функция состояния 2, то c
1
Ψ
1
(q, t) +c
2
Ψ
2
(q, t) – это волновая
функция некоторого нового состояния, где c
1
и c
2
– произвольные (с
точностью до условия нормировки) комплексные числа.
б) Если измерение в состоянии 1 дает результат 1, а измерение
в состоянии 2 дает результат 2, то измерение в суперпозиции этих
состояний дает либо результат 1, либо результат 2.
III постулат. Каждой физической величине F сопоставляется
линейный и эрмитовый оператор
ˆ
F . Измерение величины F дает
14
  Определение: F̂ + – оператор, эрмитово сопряженный по отно-
шению к F̂ на множестве функций Ω, если
                 ∀Φ, Ψ ∈ Ω       →     hΦ|F̂ Ψi = hF̂ + Φ|Ψi.
   Определение: Если F̂ + = F̂ , то F̂ – самосопряженный или эр-
митовый оператор.
   Если F̂ – эрмитовый оператор, то
             hΨ|F̂ Ψi = hF̂ + Ψ|Ψi = hΨ|F̂ + Ψi∗ = hΨ|F̂ Ψi∗ ,
то есть hΨ|F̂ Ψi – действителен.
   Определение: F̂ называют линейным на множестве функций Ω,
если
    F̂ (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) = c1 F̂ Ψ1 + c2 F̂ Ψ2   ∀Φ, Ψ ∈ Ω,      ∀c1 , c2 ∈ C.

   Постулаты

   Теперь сформулируем 4 постулата квантовой механики и полу-
чим некоторые следствия из них.

   I постулат. Пусть произвольной системе соответствует конфи-
гурационное пространство q = (q1 , . . . , qn ). Система полностью опи-
сывается волновой функцией Ψ(q, t) такой, что |Ψ(q, t)|2 dq есть ве-
роятность обнаружить систему в dq в момент времени t.
   Потребуем для волновой функции (условие нормировки)
               Z
                 |Ψ(q, t)|2 dq = 1 ⇔ hΨ|Ψi = 1.

   II постулат. Принцип суперпозиции
   а) Если Ψ1 (q, t) – волновая функция состояния 1, а Ψ2 (q, t) – вол-
новая функция состояния 2, то c1 Ψ1 (q, t) + c2 Ψ2 (q, t) – это волновая
функция некоторого нового состояния, где c1 и c2 – произвольные (с
точностью до условия нормировки) комплексные числа.
   б) Если измерение в состоянии 1 дает результат 1, а измерение
в состоянии 2 дает результат 2, то измерение в суперпозиции этих
состояний дает либо результат 1, либо результат 2.

   III постулат. Каждой физической величине F сопоставляется
линейный и эрмитовый оператор F̂ . Измерение величины F дает
                                       14

Страницы