ВУЗ:
Составители:
Энергии дискретных уровней
Понятно, что заданной энергии E должна соответствовать един-
ственная функция ψ(x), т.е. обе построенные нами функции ψ
2
(x)
должны тождественно совпадать на интервале от x
1
до x
2
. Запишем
цепочку равенств:
ψ
2
∼ sin
x
2
Z
x
p(x
0
)
~
dx
0
+
π
4
≡
≡ sin
x
2
Z
x
1
p(x
0
)
~
dx
0
−
x
Z
x
1
p(x
0
)
~
dx
0
+
π
4
=
= −sin
x
Z
x
1
p(x
0
)
~
dx
0
−
x
2
Z
x
1
p(x
0
)
~
dx
0
−
π
4
=
= −sin
x
Z
x
1
p(x
0
)
~
dx
0
+
π
4
−
x
2
Z
x
1
p(x)
~
dx +
π
2
.
Отсюда видно, что обе построенные нами функции ψ
2
(x) совпадают,
если
x
2
Z
x
1
p(x)
~
dx +
π
2
= π(n + 1), n = 0, 1, . . .
или
x
2
Z
x
1
p(x)dx = π~
µ
n +
1
2
¶
, n = 0, 1, . . .
Этот результат обычно называют условием Бора-Зоммерфельда; его
также принято записывать в форме:
I
x
2
x
1
p(x)dx = 2π~
µ
n +
1
2
¶
.
Условие Бора-Зоммерфельда определяет уровни энергии E в потен-
циальной яме U (x). Подчеркнем, что оно получено в квазиклассиче-
ском приближении (т.е. при условии λ ¿ a). Таким образом, строго
95
Энергии дискретных уровней
Понятно, что заданной энергии E должна соответствовать един-
ственная функция ψ(x), т.е. обе построенные нами функции ψ2 (x)
должны тождественно совпадать на интервале от x1 до x2 . Запишем
цепочку равенств:
x
Z2 0
p(x ) π
ψ2 ∼ sin dx0 + ≡
~ 4
x
x
Z2 0 Zx 0
p(x ) p(x ) π
≡ sin dx0 − dx0 + =
~ ~ 4
x1 x1
x
Z 0 Z2
x
0
p(x ) p(x ) π
= − sin dx0 − dx0 − =
~ ~ 4
x1 x1
x x
Z 0 Z2
p(x ) π p(x) π
= − sin dx0 + − dx + .
~ 4 ~ 2
x1 x1
Отсюда видно, что обе построенные нами функции ψ2 (x) совпадают,
если
Z2
x
p(x) π
dx + = π(n + 1), n = 0, 1, . . .
~ 2
x1
или
Z2
x µ ¶
1
p(x)dx = π~ n + , n = 0, 1, . . .
2
x1
Этот результат обычно называют условием Бора-Зоммерфельда; его
также принято записывать в форме:
I x2 µ ¶
1
p(x)dx = 2π~ n + .
x1 2
Условие Бора-Зоммерфельда определяет уровни энергии E в потен-
циальной яме U (x). Подчеркнем, что оно получено в квазиклассиче-
ском приближении (т.е. при условии λ ¿ a). Таким образом, строго
95
