Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Методом перевала (стационарной фазы) получаются следующие
результаты для асимптотик функции Эйри:
ψ(ξ) →
1
2ξ
1/4
e
−
2
3
ξ
3/2
, ξ → +∞,
1
|ξ|
1/4
sin
µ
2
3
|ξ|
3/2
+
π
4
, ξ → −∞.
Исследуем поведение ψ
2
(x) при x ∼ x
2
(но x < x
2
):
x
2
Z
x
p(x
0
)
~
dx
0
'
x
2
Z
x
p
2mF (x
2
− x
0
)
~
dx
0
=
r
2mF
~
2
x
2
Z
x
p
x
2
− x
0
dx
0
=
= −
r
2mF
~
2
2
3
(x
2
− x
0
)
3/2
¯
¯
¯
¯
¯
x
2
x
=
2
3
r
2mF
~
2
(x
2
− x)
3/2
≡
2
3
|ξ|
3/2
.
Таким образом, сравнивая
ψ
2
(x) =
C
0
p
p(x)
sin
x
2
Z
x
p(x
0
)
~
dx
0
+ γ
0
в области, где x приближается к x
2
(но x < x
2
), с асимптотикой
функции Эйри (ξ → −∞), получаем
γ
0
=
π
4
,
т.е.
ψ
2
(x) =
C
0
p
p(x)
sin
x
2
Z
x
p(x
0
)
~
dx
0
+
π
4
.
Выполняя точно такой же анализ для области x ∼ x
1
(но x > x
1
),
находим:
ψ
2
(x) =
C
p
p(x)
sin
x
Z
x
1
p(x
0
)
~
dx
0
+
π
4
.
94
   Методом перевала (стационарной фазы) получаются следующие
результаты для асимптотик функции Эйри:
                        1         2 3/2
                       
                               e− 3 ξ ,             ξ → +∞,
                       
                        2ξ 1/4

                ψ(ξ) →               µ           ¶
                       
                          1           2 3/2 π
                       
                               sin      |ξ| +     , ξ → −∞.
                         |ξ|1/4        3       4

Исследуем поведение ψ2 (x) при x ∼ x2 (но x < x2 ):
       Z2
       x                 Z2
                         x    p                          r         Z2
                                                                   x
            p(x0 ) 0           2mF (x2 − x0 ) 0              2mF        p
                  dx '                       dx =                        x2 − x0 dx0 =
              ~                    ~                          ~2
       x                 x                                         x

          r                    ¯x 2   r
            2mF 2              ¯    2 2mF               2
                         0 3/2 ¯
       =−         (x2 − x ) ¯ =            (x2 − x)3/2 ≡ |ξ|3/2 .
             ~2 3              ¯    3   ~2              3
                                        x

Таким образом, сравнивая
                                         x                     
                                           Z2
                               C0             p(x 0
                                                    )
                     ψ2 (x) = p      sin             dx0 + γ 0 
                                p(x)            ~
                                                    x

в области, где x приближается к x2 (но x < x2 ), с асимптотикой
функции Эйри (ξ → −∞), получаем
                                                   π
                                            γ0 =     ,
                                                   4
т.е.                                     x                
                                    0      Z2     0
                               C              p(x ) 0 π 
                     ψ2 (x) = p      sin           dx +     .
                                p(x)            ~        4
                                                   x

   Выполняя точно такой же анализ для области x ∼ x1 (но x > x1 ),
находим:                         x               
                                   Z     0
                        C            p(x ) 0 π 
             ψ2 (x) = p      sin          dx +     .
                        p(x)           ~        4
                                                   x1




                                              94

Страницы