Квантовая механика. Барабанов А.Л. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

в классически разрешенной области x
1
< x < x
2
имеем:
ψ
2
(x) =
B
p
p(x)
e
−i
x
R
x
1
p(x
0
)
~
dx
0
+
C
p
p(x)
e
i
x
R
x
1
p(x
0
)
~
dx
0
,
наконец, в классически запрещенной области x > x
2
(правее правой
точки поворота) имеем:
ψ
3
(x) =
D
p
|p(x)|
e
−
x
R
x
2
|p(x
0
)|
~
dx
0
.
Ясно, что в области x
1
< x < x
2
амплитуды слагаемых волновой
функции, отвечающих движению вдоль и против оси Ox, по модулю
одинаковы, т.е. |B| = |C|. Поэтому ψ
2
(x) может быть записана и в
такой форме:
ψ
2
(x) =
C
p
p(x)
sin
x
Z
x
1
p(x
0
)
~
dx
0
+ γ
или
ψ
2
(x) =
C
0
p
p(x)
sin
x
2
Z
x
p(x
0
)
~
dx
0
+ γ
0
.
Точки поворота
Далее неизбежно возникает проблема: в окрестностях точек по-
ворота x
1
и x
2
p(x) → 0 ⇒ λ =
~
p
→ ∞,
то есть условие
λ
a
¿ 1 нарушается. Таким образом в окрестности то-
чек поворота квазиклассическое приближение заведомо не примени-
мо. Следовательно невозможно непосредственным образом связать
друг с другом функции ψ
1
и ψ
2
в окрестности x
1
, так же как ψ
2
и
ψ
3
в окрестности x
2
.
Для решения этой проблемы воспользуемся линейной апроксима-
цией U(x) в окрестностях точек x
1
и x
2
. Например, в окрестности x
2
имеем:
U(x) ' U (x
2
) + (x − x
2
)U
0
(x
2
) = E + (x − x
2
)F,
92
в классически разрешенной области x1 < x < x2 имеем:
                                  R
                                  x
                                       p(x0 ) 0
                                                                                R
                                                                                x
                                                                                    p(x0 ) 0
                       B     −i          ~ dx                  C           i          ~ dx
          ψ2 (x) = p         e    x1
                                                    +p                 e       x1
                                                                                               ,
                      p(x)                                     p(x)
наконец, в классически запрещенной области x > x2 (правее правой
точки поворота) имеем:
                                                        R
                                                        x
                                                             |p(x0 )|
                                       D            −           ~     dx0
                    ψ3 (x) = p                  e       x2
                                                                            .
                                      |p(x)|
   Ясно, что в области x1 < x < x2 амплитуды слагаемых волновой
функции, отвечающих движению вдоль и против оси Ox, по модулю
одинаковы, т.е. |B| = |C|. Поэтому ψ2 (x) может быть записана и в
такой форме:
                                    x                  
                                      Z     0
                           C            p(x   )
                ψ2 (x) = p      sin            dx0 + γ 
                           p(x)           ~
                                                x1
или                                x                  
                           0         Z2     0
                         C              p(x ) 0
               ψ2 (x) = p      sin           dx + γ 0  .
                          p(x)            ~
                                                x


   Точки поворота

    Далее неизбежно возникает проблема: в окрестностях точек по-
ворота x1 и x2
                                          ~
                    p(x) → 0 ⇒ λ = → ∞,
                                          p
                λ
то есть условие ¿ 1 нарушается. Таким образом в окрестности то-
                a
чек поворота квазиклассическое приближение заведомо не примени-
мо. Следовательно невозможно непосредственным образом связать
друг с другом функции ψ1 и ψ2 в окрестности x1 , так же как ψ2 и
ψ3 в окрестности x2 .
    Для решения этой проблемы воспользуемся линейной апроксима-
цией U (x) в окрестностях точек x1 и x2 . Например, в окрестности x2
имеем:
          U (x) ' U (x2 ) + (x − x2 )U 0 (x2 ) = E + (x − x2 )F,
                                           92

Страницы