Математическая статистика. Баркова Л.Н - 3 стр.

                                        3
      ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

          1. Понятия интервальной оценки и доверительного интервала

      При оценивании неизвестных параметров наряду с рассмотренными
выше точечными оценками используются также интервальные оценки.
В отличие от точечной оценки интервальная оценка позволяет получить
вероятностную характеристику точности оценивания неизвестного пара-
метра.      
      Пусть ξ n - случайная выборка объема n из генеральной совокупно-
сти с функцией распределения F ( x;θ ) , зависящей от параметра θ , значе-
ние которого неизвестно.
                                                                  
                                                               (           )
Предположим, что для параметра θ построен интервал θ (ξ n ) , θ (ξ n ) , где
                                                   
    ( )      ( )
θ ξ n и θ ξ n являются функциями случайной выборки ξ n , такими, что
                                         
выполняется равенство          {( )     ( )}
                          Ρ θ ξ n <θ <θ ξ n =γ .                  (1)
                                     
                                ( ( ) ( ))
      В этом случае интервал θ ξ n ,θ ξ n называют интервальной оцен-
кой для параметра θ с коэффициентом доверия γ (или, сокращенно, γ -
                                                    
доверительной интервальной оценкой), а θ (ξ n ) и θ (ξ n ) соответственно
нижней и верхней границами интервальной оценки.
                                     
                               (            )
    Интервальная оценка θ (ξ n ) , θ (ξ n ) представляет собой интервал со
случайными границами, который с заданной вероятностью γ накрывает
неизвестное истинное значение параметра
                                   
                                           θ . Таким образом, для различ-
ных реализаций случайной выборки x n , т.е. для различных элементов вы-
                                                
борочного пространства статистики θ (ξ n ) и θ (ξ n ) могут принимать раз-
личные значения.
     Более того, согласно (1), существует подмножество K выборочного
                                                          
                                                (          )
пространства такое, что если x n ∈K , то θ ∉ θ ( x n ) ,θ ( x n ) .
     При этом вероятностной характеристикой точности оценивания па-
                                                           
раметра θ является случайная величина l (ξ n ) =θ (ξ n ) −θ (ξ n ) ,
                                                              
которая для любой реализации x n случайной выборки ξ n есть длина ин-
тервала
                                               
(              )               (
 θ ( x n ) , θ ( x n ) . Интервал           )
                                  θ ( x n ) , θ ( x n ) называют доверительным ин-
тервалом для параметра θ с коэффициентом доверия          γ   или γ -
доверительным интервалом.
      Заметим, что наряду с термином "коэффициент доверия" широко ис-
пользуют также термины доверительная вероятность и уровень доверия.
При этом коэффициент доверия γ чаще всего выбирают равным 0,9, 0,95
или 0,99, т.е. близким к 1.