Математическая статистика. Баркова Л.Н - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
торого неизвестно . Рассмотрим один из наиболее распространенных мето-
дов построения интервальных оценок для
θ
, связанный с использованием
центральной статистики - любой статистики
(
)
,
n
ξθ
Τ
r
, функция рас-
пределения которой
()
(
)
{
}
,
n
ξθ
Τ
=ΡΤ<
r
не зависит от параметра
θ
. Примеры централь -
ных статистик приведем в дальнейшем.
Для упрощения дальнейших рассуждений будем предполагать сле -
дующее:
1) функция распределения
(
)
Ft
Τ
является непрерывной и возрастаю -
щей ;
2) заданы такие положительные числа
α
и
β
, что коэффициент до-
верия 1
γαβ
=−−
;
3) для любой реализации
n
x
r
выборки из генеральной совокупности
функция
(
)
,
n
x
θ
Τ
r
является непрерывной и возрастающей (убывающей )
функцией параметра
θ
∈Θ
.
Согласно допущению 1, для любого
(
)
0,1
q ∈
существует единствен-
ный корень h
q
уравнения
(
)
Ftq
Τ
=
, который называют квантилью уровня q
функции распределения
(
)
Ft
Τ
случайной величины
(
)
,
n
ξθ
Τ
r
.Таким обра-
зом, согласно допущению 2, имеют место равенства
(
)
{
}
1
,
n
hxh
αβ
θ
−
Ρ<Τ<
r
=
(
)
(
)
1
1FhFh
βα
αβγ
Τ−Τ
−=−−=
, (2)
которые справедливы для любых возможных значении параметра
θ
, так
как
(
)
,
n
ξθ
Τ
r
- центральная статистика, и ее функция распределения
(
)
Ft
Τ
не
зависит от
θ
. Для построения искомой интервальной оценки воспользуем-
ся следующими соображениями.
Пусть для определенности функция
(
)
,
n
ξθ
Τ
r
является возрастающей
функцией параметра
θ
. Тогда, согласно допущению 3, для каждой выбор -
ки
n
n
x
ξ
∈
uurr
уравнения
(
)
,
n
x
θ
Τ
r
=
h
α
и
(
)
,
n
x
θ
Τ
r
=
1
h
β
−
имеют единственные реше-
ния
(
)
n
x
θ
r
и
(
)
n
x
θ
r
соответственно . При этом неравенства h
α
<
(
)
,
n
x
θ
Τ
r
<
1
h
β
−
и
(
)
(
)
nn
xx
θθθ<<
uuruur
являются равносильными, т.е. для любой реа-
лизации выборки
n
x
uur
они выполняются или не выполняются одновремен-
но. Таким образом,
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
1
,
n
nn
hh
αβ
γξθθξθθξ
−
=Ρ<Τ<=Ρ<<
ruuruur
и
(
)
(
)
(
)
,
nn
θξθξ
uuruur
искомая
интервальная оценка.
Завершая рассуждения, заметим, что фактически построение дове -
рительного интервала сводится к выполнению следующих действий :
1) построение центральной статистики
(
)
,
n
ξθ
Τ
r
с известной функцией
распределения
(
)
Ft
Τ
; 
                                             5
торого неизвестно. Рассмотрим один из наиболее распространенных мето-
дов построения интервальных оценок для θ , связанный с использованием
                                                   
центральной статистики - любой статистики Τ (ξ n ,θ ) , функция рас-
пределения которой
                    
                {(        ) }
       FΤ (t ) =Ρ Τ ξ n , θ

Страницы