Математическая статистика. Баркова Л.Н - 6 стр.

                                                     6
      2) представление заданного коэффициента доверия γ в виде
γ =1 −α −β ;
      3) нахождение квантилей ha и h1−β уровня α и 1 −β функции распре-
деления FΤ (t ) ;
                                                                         
       4) нахождение значений нижней θ ( xn ) и верхней θ ( xn ) границ иско-
мой интервальной оценки путем решения уравнений
                              
         (     )
       Τ x n , θ =hα ,        (       )
                             Τ x n , θ =h1−β                                      (3)
                                 
                                                 (      )
соответственно в случае, когда Τ x n ,θ — возрастающая функция парамет-
                                                                 
                         (     )
ра θ . Если же Τ x n ,θ — убывающая функция параметра θ , то θ ξn и                           ( )
                                                      
 ( )                                                                (
θ ξn получают путем решения уравнений Τ xn ,θ =h1−β и Τ x n , θ =hα со- )         (       )
ответственно.

       3. Примеры построения интервальных оценок

     Рассмотрим построение интервальной оценки для параметров неко-
торых часто используемых распределений.      
     Экспоненциальное распределение. Пусть ξ n — случайная выборка
объема п из генеральной совокупности с экспоненциальным законом рас-
пределения, имеющим плотность распределения

                     f ( x ) =λ ⋅ e −λ x Ι [0,+∞) ( x ) , где λ - неизвестный параметр.
Требуется построить интервальную оценку для параметра λ по данным
случайной выборки ξ n .
                                                     
     В данном случае θ =λ . Рассмотрим статистику Τ (ξ n , λ ) = 2λn ⋅ξ , где
                                               
ξ -     выборочное среднее для ξn . Эта статистика имеет χ 2 -распределение
с 2 n степенями свободы, т.е. является центральной статистикой. Урав-
нения (3) в данном случае принимают вид
       2λn Χ =χα2 (2n ) , 2λn Χ =χ12−β , где χq2 (2n ) — квантиль уровня q для хи-
квадрат распределения с 2 n степенями свободы.
      Получаем, что нижняя и верхняя границы интервальной оценки с ко-
эффициентом доверия γ =1 −α −β для параметра λ экспоненциального
распределения имеют вид
           χα2 (2n )                χ12−β (2n )
         ( )
       λ ξn =
               2n Χ
                        ,           ( )
                                   λ ξn =
                                             2n Χ
                                                            
      Нормальное распределение. Пусть ξx — случайная выборка объема п
из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону с
параметрами µ и σ 2 . Рассмотрим некоторые варианты построения интер-
вальных оценок для этих параметров.