Математическая статистика. Баркова Л.Н - 8 стр.

                                              8
       
       (
этом Τ ξn , σ   ) - убывающая функция параметра σ . Исходя из этого, соглас-
но (3), находим нижнюю и верхнюю границы интервальной оценки для па-
раметра σ с коэффициентом доверия γ =1 −α −β :
                                                 
                       ( )
                   S ξn n −1                            ( )
                                               S ξn n −1
                ( )
            σ ξn =
                    χ12−β (n −1)
                                 ,           ( )
                                            σ ξn =
                                                    χα2 (n −1)
                                                               ,

     где χq2 (n −1) - квантиль уровня q для хи-квадрат распределения с n −1
степенями свободы.

     4 Приближенные интервальные оценки
      Сначала рассмотрим частный случай построения таких оценок.
     Пусть требуется найти интервальную оценку для математического
ожидания в случае, когда закон распределения генеральной совокупности
неизвестен. Предполагаем, что существуют конечные математическое
ожидание µ =MX и дисперсия σ 2 =DX .
                                           Χ −µ
      Рассмотрим статистику             ( )
                                       Τ ξn =
                                               σ
                                                   ⋅ n.

     В соответствии с центральной предельной
                                        
                                             теоремой эта статистика
при больших объемах случайной выборки ξn имеет закон распределения,
близкий к стандартному нормальному. Поэтому при достаточно больших
n неравенства
                 Χ −µ
       −u1−β ≤        ⋅ n ≤u1−α
                  σ
     выполняются с вероятностью, близкой к величине γ =1 −α −β , где uq
— квантиль уровня q стандартного нормального распределения. Приве-
денные неравенства эквивалентны следующим:
            σ               σ
       Χ−      u1−α ≤ µ ≤Χ + u1−β /
             n               n
      Эти неравенства не дают еще интервальной оценки для параметра µ ,
так как их левая и правая части содержат неизвестный параметр σ . При-
меняя еще одно приближение, а именно: подставляя в указанные неравен-
                                                          
ства вместо неизвестного точного значения σ его оценку S (ξn ) , получаем
нижнюю и верхнюю границы (приближенной) интервальной оценки с ко-
эффициентом доверия γ =1 −α −β , для математического ожидания µ :
                                                       
                        S xn ( )                  S xn    ( )
                    ( )
                  µ xn =Χ −
                             n
                                 ⋅ u1−β ,         ( )
                                               µ xn =Χ +
                                                          n
                                                              ⋅u1−α


     Приведенный способ построения приближенного доверительного
интервала может применяться и в следующей более общей ситуации.
          
Пусть θ (ξn ) - точечная несмещенная оценка для параметра θ , построенная
                                                         
по     данным         случайной       выборки            ξ п.         Обозначим   через