Математическая статистика. Баркова Л.Н - 7 стр.

                                                             7
     Вариант1 - оценка для математического ожидания µ при известной
дисперсии. В данном случае статистика
                                       Χ −µ
                                  (
                               Τ ξn , µ =) σ
                                               ⋅ n

    имеет стандартное нормальное распределение с параметрами- µ = 0,
                                                         
σ = 1, т.е. является центральной статистикой. Функция Τ (ξn , µ ) является
 2


убывающей функцией по µ , и система уравнений (3) принимает вид
                                                                      
                       (
                      n x −µ xn       ( )) =u          ,
                                                                   (
                                                                  n x −µ xn ( )) =u     ,
                                                 1−β                                α
                              σ                                        σ
     где uq - квантиль уровня q стандартного нормального pacпpеделения.
Учитывая, что для нормального закона u1−α =uα получаем следующие
нижнюю и верхнюю границы γ -доверительного интервала для параметра
µ при γ =1 −α −β :
                    σ                                         σ
                  ( )
              µ xn =x − ⋅u1−β ,
                        n
                                                            ( )
                                                           µ xn =x + ⋅u1−α .
                                                                     n
     Вариант 2 - оценка математического ожидания при неизвестной дис-
персии. При неизвестной дисперсии статистика
                                                       Χ −µ
                                                 (
                                               Τ ξn , µ =
                                                            S
                                                             ) ⋅ n


       является центральной, так как имеет распределение Стьюдента с
                                                      2
(n −1) степенями свободы , которое не зависит от µ и σ . Система уравне-
ний (3) в данном случае принимает вид
                                                                           
                  (
             n x −µ xn        ( )) =t
                                               (n −1) ,
                                                                        (
                                                                       n x −µ xn( )) =t
                                                                                                (n −1) ,
                                         1−β                                                α
                      S                                                     S

      где tq ( n −1) — квантиль уровня q распределения Стьюдента с . п - 1
степенями свободы. Поскольку плотность распределения Стьюдента - чет-
ная функция, то tα (n −1) =−t1−α (n −1) . Отсюда заключаем, что нижняя и
верхняя границы интервальной оценки с коэффициентом доверия
γ =1 −α −β для параметра µ в случае с неизвестной дисперсией можно оп-
ределить по формулам
                                                          
                  ( )  S
              µ xn =x − ⋅t1−β ,
                        n
                                                            ( )     S
                                                           µ xn =x + ⋅ t1−α
                                                                     n
      Вариант 3 - оценка среднего квадратичного отклонения. Рассмотрим
статистику
                                  
                    (n −1) S 2 ξn           ( )
              (
            Τ ξn , σ =    ) σ2
                                      .
     Эта статистика является центральной, так как имеет хи-квадрат рас-
пределение с n −1 степенями свободы, которое не зависит от µ и σ 2 . При