Математическая статистика. Баркова Л.Н - 9 стр.

                                             9
                                               
         (( ) )                                         ( )
                    2
Vn (θ ) =M θ ξn −θ значение дисперсии оценки θ ξn . Предположим, что
            
          ( )
оценка θ ξn имеет асимптотически нормальное распределение. Другими
                                                     
словами, нормированная случайная величина ηn =
                                                θ ξn −θ  ( )
                                                    Vn (θ )
имеет распределение, которое при n → ∞ сходится к стандартному нор-
мальному распределению. В этом случае неравенства
                                
                −u1−β   ≤ηn =
                                ( )
                             θ ξn −θ
                                        ≤u1−α ,
                                Vn (θ )
      где uq - квантиль уровня q стандартного нормального закона распре-
деления, выполняются с вероятностью, которую при достаточно больших n
можно считать приближенно равной γ =1 −α −β .
 Указанные неравенства эквивалентны следующим:
                                        
           θ (ξn ) −u1−α Vn (θ ) ≤ θ ≤θ (ξn ) +u1−β Vn (θ ) .
          Записанные неравенства еще не дают интервальной оценки для θ ,
так как их левая и правая части содержат неизвестный параметр θ . Под-
ставляя в левую и правую части указанных неравенств вместо θ оценку
    
θ (ξn ) , получаем окончательно следующие нижнюю и верхнюю границы
для параметра θ с коэффициентом доверия γ =1 −β −α :
                                                     
               θ (ξn ) =θ (ξn ) −u1−α Vn (θ ) и θ (ξn ) =θ (ξn ) +u1−β Vn (θ )
     Изложенный метод является приближенным и может применяться
при достаточно большом объеме случайной выборки. Заметим, что его ис-
пользование фактически связано с "двойным приближением", а именно:
закон распределения оценки заменяют нормальным и, кроме того, в при-
веденных формулах для границ интервальной оценки в дисперсию Vn (θ )
                                                     
вместо точного значения θ подставляют его оценку θ (ξn ) . При малых и
средних объемах случайной выборки применение указанного метода мо-
жет приводить к значительным ошибкам. Поэтому использовать его следу-
ет с достаточной степенью осторожности и лишь в качестве первого при-
ближения.

      Пример 1. Рассмотрим построение приближенного доверительного
интервала для параметра р биномиального распределения. Пусть проводи-
лось n = 16 независимых испытаний с неизвестной вероятностью р "успе-
ха" в каждом испытании, при этом наблюдалось к = 8 „успехов". Опреде-
лим значения границ доверительного интервала для р с коэффициентом
доверия γ = 0,9.

      Значение точечной оценки параметра р определяется как