ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
Пособие, написано в соответствии с программой курса «Теория слу-
чайных процессов» для студентов 3 курса дневного и 5 курса вечернего
отделений математического факультета, содержит краткие теоретические
сведения, а также набор задач для самостоятельного решения.
Элементы случайного анализа
Рассмотрим случайный процесс
{
(
)
}
,
t
t
xww
ÎT
ÎW
на
(
)
,,.
WAR
Обсудим аналитические свойства (непрерывность, дифференцируемость
и интегрируемость) отображения
{
}
( )
0
,,
t
t
L
x
ÎT
T¾¾¾®WAR
, где
(
)
0
,,
L
WAR
–
множество случайных величин, определенных на
(
)
,,
WAR
. В
(
)
0
,,
L
WAR
существуют различные типы сходимости: сходимость почти наверное
(п. н.), сходимость по вероятности, сходимость в среднем порядка r для
(
)
,,
r
L
WAR
, в частном случае при r = 2, сходимость в среднем квадратиче-
ском. В соответствии с этим можно рассматривать различные виды непре-
рывности, дифференцируемости и интегрируемости.
Так, например, случайный процесс
{
}
t
t
x
ÎT
непрерывен в
0
t
ÎT
, если
существует
0
0
lim
tt
tt
xx
®
=
в определенном смысле:
п.н., если
( ) ( )
{
}
0
:lim1;
o
tt
tt
wxwxw
®
R==
по вероятности, если
( ) ( )
{
}
0
0
lim:0,0;
tt
tt
wxwxwee
®
R->=>
в среднем порядка r, если
( )
0
0
,,,,lim0
r
r
ttt
tt
LtM
xxx
®
ÎWARÎT-=
.
Можно показать, что для первых двух типов нет смысла строить слу-
чайный анализ. А для сходимости в среднем квадратическом есть серьез-
ная теория, которая получила название среднеквадратической теории.
Критерий непрерывности случайного процесса в среднем квадра-
тическом в точке (на множестве): случайный процесс
(
)
{
}
2
,,
t
t
L
x
ÎT
ÎWAR
непрерывен в точке
0
t
ÎT
( на
T
) тогда и только тогда,
когда
(
)
t
mtM
x
=
непрерывно при
0
tt
=
и непрерывна ковариационная
функция
(
)
,
Bts
в точке
(
)
00
,
tt
(на биссектрисе
(
)
,
tt
для всех
t
ÎT
).
Пособие, написано в соответствии с программой курса «Теория слу-
чайных процессов» для студентов 3 курса дневного и 5 курса вечернего
отделений математического факультета, содержит краткие теоретические
сведения, а также набор задач для самостоятельного решения.
Элементы случайного анализа
Рассмотрим случайный процесс {xt (w ) , w Î W }tÎT на ( W, A, R ) .
Обсудим аналитические свойства (непрерывность, дифференцируемость
{x }
и интегрируемость) отображения T ¾¾¾
t tÎT
® L0 ( W, A, R ) , где L0 ( W, A, R ) –
множество случайных величин, определенных на ( W, A, R ) . В L ( W, A, R )
0
существуют различные типы сходимости: сходимость почти наверное
(п. н.), сходимость по вероятности, сходимость в среднем порядка r для
Lr ( W, A, R ) , в частном случае при r = 2, сходимость в среднем квадратиче-
ском. В соответствии с этим можно рассматривать различные виды непре-
рывности, дифференцируемости и интегрируемости.
Так, например, случайный процесс {xt }tÎT непрерывен в t0 Î T , если
существует lim xt = xt0 в определенном смысле:
t ®t 0
{
п.н., если R w : lim
t ®t o
}
xt (w ) = xt0 (w ) = 1;
по вероятности, если lim
t ®t 0
{ }
R w : xt (w ) - xt0 (w ) > e = 0, e > 0;
r
в среднем порядка r, если xt Î L ( W, A, R ) , t Î T, lim M x t - x t0 = 0 .
r
t ®t 0
Можно показать, что для первых двух типов нет смысла строить слу-
чайный анализ. А для сходимости в среднем квадратическом есть серьез-
ная теория, которая получила название среднеквадратической теории.
Критерий непрерывности случайного процесса в среднем квадра-
тическом в точке (на множестве): случайный процесс
{x Î L ( W, A, R )}
t
2
tÎT
непрерывен в точке t0 Î T ( на T ) тогда и только тогда,
когда m ( t ) = M xt непрерывно при t = t0 и непрерывна ковариационная
функция B ( t , s ) в точке ( t0 , t0 ) (на биссектрисе ( t , t ) для всех t Î T ).
3
