Теория случайных процессов. Баркова Л.Н - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
6. Показать, что процесс, стохастически эквивалентный стохастиче-
ски непрерывному процессу, стохастически непрерывен.
7. Рассмотрим на вероятностном пространстве
(
)
,,
WAR
, представ-
ляющий собой отрезок
[
]
0,1
с
s
– алгеброй борелевских подмножеств и ме-
рой Лебега, случайный процесс
{
t
t
x
ÎT
, определенный следующим образом:
( )
(
)
1,,,
,.,
0,.
t
еслипрямаяпроходящаячерезточку t параллель
но
прямой t пересекаетось t врационточке
востальныхслучаях
w
xww
ì
ï
ï
ï
==
í
ï
ï
ï
î
Показать, что
{
t
t
x
ÎT
стохастически непрерывен, но все его траекто-
рии разрывны в каждой точке.
8. Показать, что случайный процесс
{
t
t
x
ÎT
, где T=
[
)
0,
¥
, являющийся
винеровским случайным процессом, выходящем из нуля, интегрируем на T.
9. Для гауссовского случайного процесса
{
t
t
x
ÎT
, где T =R с матема-
тическим ожиданием
(
)
2
mtt
=
и ковариационной функцией
(
)
,4
Btsts
=
вычислить
(
)
{
}
22
P
x
¢
>
.
Стохастический интеграл Ито
Пусть на вероятностном пространстве
(
)
,,
WAR
задан стандартный
винеровский процесс
{
0
.
t
t
w
³
То есть
{
}
0
t
t
w
³
– случайный процесс, удовле-
творяющий условиям:
1.
0
w
=0 почти наверное.
2.
{
0
t
t
w
³
– гауссовский случайный процесс.
3.
(
)
(
)
{
0,,min,,,0.
mtBtststs
==³
4. Процесс п.н. непрерывный на
{
0
R
+
U
.
По этому случайному процессу построим поток
s
-алгебр
{
0
t
t
F
³
, где
[
]
{
}
,0,
ts
Fwst
s
=Î
. Из определения следует, что
{
0
,;,0;
t
FFt
=ÆWÎA³
ts
FF
Ì
, при
.
st
£
      6. Показать, что процесс, стохастически эквивалентный стохастиче-
ски непрерывному процессу, стохастически непрерывен.

       7. Рассмотрим на вероятностном пространстве              ( W, A, R ) ,   представ-
ляющий собой отрезок [ 0,1] с s – алгеброй борелевских подмножеств и ме-
рой Лебега, случайный процесс {xt }tÎT , определенный следующим образом:

           ì 1, если прямая, проходящая через точку ( t , w ) параллельно
           ï
           ï
x t (w ) = í       прямой t = w , пересекает ось t в рацион. точке,
           ï
           ï                    0, в остальных случаях.
           ïî

     Показать, что {xt }tÎT стохастически непрерывен, но все его траекто-
рии разрывны в каждой точке.

     8. Показать, что случайный процесс {xt }tÎT , где T= [ 0, ¥ ) , являющийся
винеровским случайным процессом, выходящем из нуля, интегрируем на T.

       9. Для гауссовского случайного процесса {xt }tÎT , где T =R с матема-
тическим ожиданием m ( t ) = t и ковариационной функцией B ( t , s ) = 4ts
                              2


вычислить P {x ¢ ( 2 ) > 2} .

                   Стохастический интеграл Ито

       Пусть на вероятностном пространстве ( W, A, R ) задан стандартный
винеровский процесс {wt }t ³0 . То есть {wt }t ³0 – случайный процесс, удовле-
творяющий условиям:
     1. w0 =0 почти наверное.
       2. {wt }t ³0 – гауссовский случайный процесс.
       3. m ( t ) = 0, B ( t , s ) = min {t , s} , t , s ³ 0.
       4. Процесс п.н. непрерывный на R+ U{0} .
       По этому случайному процессу построим поток s -алгебр { Ft }t ³0 , где
Ft = s {ws , s Î [ 0, t ]} . Из определения следует, что F0 = {Æ, W} ; Ft Î A, t ³ 0;
Ft Ì Fs , при s £ t.


                                                    5

Страницы