Теория случайных процессов. Баркова Л.Н - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
Критерий дифференцируемости случайного процесса в точке (на
множестве): Случайный процесс
(
)
{
}
2
,,
t
t
L
x
ÎT
ÎWAR
дифференцируем в точ-
ке
0
=
(на
T
) тогда и только тогда, когда
(
)
t
mtM
x
=
дифференцируема при
0
=
(на
T
), а ковариационная функция имеет вторую смешанную производ-
ную в точке
(
)
00
,
tt
( на биссектрисе
(
)
,
tt
для всех
t
ÎT
), причем
() ( )
(
)
,
tt
mtMM
xx
¢
¢
¢
==
а
(
)
(
)
,
cov,
ts
Bts
ts
xx
¢¢
=
¶¶
для всех
,.
ts
ÎT
Критерий интегрируемости случайного процесса: Случайный
процесс
(
)
{
}
2
,,
t
t
L
x
ÎT
ÎWAR
интегрируем при
[
]
,
tab
ÎT=
тогда и только
тогда, когда на
[
]
,
ab
T=
интегрируемо его математическое ожидание
(
)
t
mtM
x
=
, и на
T´T
интегрируема его ковариационная функция
(
)
,
Bts
.
Задачи
1. Показать, что случайный процесс
(
)
(
)
(
)
[
)
cossin,0;
t
ttt
xwxwjhwj
=+ÎT=¥
, имеющий параметры
(
)
(
)
(
)
(
)
22
1212
.,,,
MMDD
xwmhwmxwshws
====
(
)
(
)
(
)
cov,
xwhwg
=
,
является непрерывным.
2. Будет ли случайный процесс с независимыми значениями
{
}
[ ]
0;1
t
t
x
Î
стохастически непрерывным ( по вероятности ) на
[
]
0;1
?
3. Будет ли дифференцируем в среднем квадратическом на
T
случай-
ный процесс
а)
(
)
{
}
[
]
2
0
sin,0,2;
t
t
t
etR
xjjp
-
³
=+:
в)
(
)
{
}
[
]
0
sinsin2,0,2
t
t
ttR
xjjp
³
=+:
?
Будут ли эти процессы дифференцируемы п.н.?
4. С.К.-дифференцируемый случайный процесс
{
}
t
t
x
ÎT
имеет матема-
тическое ожидание
(
)
mt
и ковариационную функцию
(
)
,
Bts
. Найти ма-
тематическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса
( ) ( ) ( )
{
}
ttt
t
hwxwxw
ÎT
¢
=+
.
5. Пусть
{
}
t
t
x
ÎT
стационарный в широком смысле случайный процесс
с ковариационной функцией
( )
(
)
2
,10,125
st
Btsstste
--
=+-+×-×
. Сколь-
ко раз этот процесс С.К. дифференцируем? 
       Критерий дифференцируемости случайного процесса в точке (на
множестве): Случайный процесс {xt Î L ( W, A, R )}tÎT дифференцируем в точ-
                                     2



ке t = t0 (на T ) тогда и только тогда, когда m ( t ) = M xt дифференцируема при
t = t0 (на T ), а ковариационная функция имеет вторую смешанную производ-
ную в       точке     ( t0 , t0 )    ( на биссектрисе         (t, t )   для всех t Î T ), причем
                                 ¶B ( t , s )
                         ( )
m¢ ( t ) = ( M xt )¢ = M xt¢ , а
                                  ¶t ¶s
                                                          (       )
                                              = cov xt¢ , x s¢ для всех t , s Î T.


     Критерий интегрируемости случайного процесса: Случайный
процесс {xt Î L ( W, A, R )} интегрируем при t ÎT = [ a, b] тогда и только
               2
                                          tÎT

тогда, когда на T = [ a, b] интегрируемо его математическое ожидание
m ( t ) = M xt , и на T´ T интегрируема его ковариационная функция B ( t , s ) .

        Задачи
       1. Показать, что случайный процесс
x t (w ) = x (w ) cos j t + h (w ) sin j t , t Î T = [ 0; ¥) ,          имеющий       параметры
M x (w ) = m1 . M h (w ) = m 2 , Dx (w ) = s 12 , Dh (w ) = s 22 , cov (x (w ) ,h (w ) ) = g ,
является непрерывным.
        2. Будет ли случайный процесс с независимыми значениями
{xt }tÎ[0;1] стохастически непрерывным ( по вероятности ) на [0;1] ?
     3. Будет ли дифференцируем в среднем квадратическом на T случай-
ный процесс
     а) xt = {e ( sin t + j )} , j : R [ 0, 2p ] ;
               -2 t
                                           t ³0


       в) x t = { sin t sin ( 2t + j )}t ³0 , j : R [ 0, 2p ] ?
       Будут ли эти процессы дифференцируемы п.н.?
       4. С.К.-дифференцируемый случайный процесс {xt }tÎT имеет матема-
тическое ожидание m ( t ) и ковариационную функцию B ( t , s ) . Найти ма-
тематическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса
{                               }
 ht ( w ) = x t ( w ) + x t ¢ ( w ) .
                                    tÎT

       5. Пусть {xt }tÎT стационарный в широком смысле случайный процесс
                                                      (
с ковариационной функцией B ( t , s ) = 1 + s - t + 0,125 × s - t × e
                                                                 2    - s -t
                                                                                  )
                                                                             . Сколь-
ко раз этот процесс С.К. дифференцируем?

                                                  4

Страницы