Теория случайных процессов. Баркова Л.Н - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Физический смысл
{
}
0
t
t
F
³
: в
t
F
содержатся все события, о наступле-
нии которых можно узнать, наблюдая процесс
{
}
s
на промежутке
[
]
0,
t
.
Назовем
{
}
(
)
0
,,,
t
t
F
³
WAR
стохастическим базисом.
{
}
0
t
t
x
³
– случай-
ный процесс, согласованный с потоком
{
}
0
t
t
F
³
, если
1
,
tt
R
F
x
-B
измеримо,
то есть
(
)
{
}
1
:,0,
tt
R
BFtB
wxw
ÎγÎB
. Эта измеримость означает
(
)
(
)
(
)
1
,...,,
tnj
fwtwttt
x
=£
.
Определение 1 (стохастического интеграла Ито)
Для начала определим интеграл относительно винеровского случай-
ного процесса на конечном интервале
[
]
0,
t
D=
для случайных функций
специального вида :
()
1
0
k
n
k
k
t
t
xx
D
=
³
ìü
=I
íý
îþ
å
– простая случайная функция, где
[ ]
(
]
(
]
1122231
1
;,,,,...,,
n
knnn
k
tttttt
-
=
D=TD=D=D=
U
;
{ }
1
n
k
k
x
=
– случайный вектор
на
(
)
,,
WAR
,
k
x
– случайные величины такие, что
( )
2
k
M
x
существует, то
есть
(
)
2
,,,1,...,
k
Lkn
x
ÎWAR=
.
Утверждение:
Если
1
,
k
kt
R
F
x
-B
измерима, то
() ()
1
k
n
kt
k
ttF
xx
D
=
=I-
å
измерима.
Доказательство:
Пусть
t
ÎD
фиксировано. Следовательно найдется такой интервал
k
D
,
что
k
t
ÎD
. Таким образом
(
)
k
t
xx
=
–
k
t
F
согласована при
,
k
ktt
tFF
ÎDÌ
, сле-
довательно,
(
)
t
tF
x
– измерима.
Определим стохастический интеграл от простой
t
F
согласованной
функции
{
(
)
}
t
t
x
ÎD
относительно винеровского случайного процесса сле-
дующим образом:
() () ()
1
0
n
kk
k
tdwtw
xxx
T
=
I==D
å
ò
, где
(
)
x
I
– случайная ве-
личина, заданная на
(
)
(
)
(
)
1
,,,
kkk
wwtwt
+
WARD=-
.
Свойства стохастического интеграла
(
)
x
I
:
1.
() ()
( )
() () () () ()
1212
000
ttdwttdwttdwt
axbxaxbx
TTT
+=+
òòò
, 
           Физический смысл { Ft }t ³0 : в Ft содержатся все события, о наступле-
нии которых можно узнать, наблюдая процесс {ws } на промежутке [ 0,t ] .
           Назовем ( W, A, { Ft }t ³ 0 , R ) стохастическим базисом. {xt }t ³0 – случай-
ный процесс, согласованный с потоком                                   {Ft }t ³0 , если       x t - B R1 , Ft измеримо,
то есть             {w : x (w )Î B}Î F , t ³ 0, B Î B
                            t                     t                  R1
                                                                          . Эта измеримость означает
xt =       f ( w ( t ) ,..., w ( t ) ) , t £ t .
                    1             n       j


           Определение 1 (стохастического интеграла Ито)
     Для начала определим интеграл относительно винеровского случай-
ного процесса на конечном интервале D = [ 0,t ] для случайных функций
                    ì       n
                                     ü
специального вида : í ( ) å x k I Dk ý – простая случайная функция, где
                     x t =
                    î      k =1      þt ³ 0
 n

UD         = T; D1 = [t1 , t2 ] , D 2 = ( t2 , t3 ] ,..., D n = ( tn -1 , tn ] ; {x k }k =1 – случайный вектор
                                                                                    n
       k
k =1

на ( W, A, R ) , x k – случайные величины такие, что M (x k ) существует, то
                                                                                                   2



есть x k Î L ( W, A, R ) , k = 1,..., n .
            2


      Утверждение:
                                                                           n

           Если x k - BR1 , Ftk измерима, то x ( t ) = å x k I D k ( t ) - Ft измерима.
                                                                          k =1
      Доказательство:
      Пусть t Î D фиксировано. Следовательно найдется такой интервал D k ,
что t Î D k . Таким образом x ( t ) = x k – Ft согласована при t Î D k , Ftk Ì Ft , сле-
                                                            k


довательно, x ( t ) Ft – измерима.
     Определим стохастический интеграл от простой Ft согласованной
функции { x ( t ) }tÎD относительно винеровского случайного процесса сле-
                                              T                  n

дующим образом: I (x ) = ò x ( t ) dw ( t ) = å x k Dwk , где I (x ) – случайная ве-
                                              0                 k =1

личина, заданная на ( W, A, R ) , Dwk = w ( tk +1 ) - w ( tk ) .

                                Свойства стохастического интеграла I (x ) :
                T                                       T                               T

           1.   ò (ax ( t ) + bx ( t ) ) dw ( t ) = a ò x ( t ) dw ( t ) + b ò x ( t ) dw ( t ) ,
                0
                        1             2
                                                        0
                                                                1
                                                                                          0
                                                                                               2




                                                        6

Страницы