Теория случайных процессов. Баркова Л.Н - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
( ) () ()
.
1
0
n
ск
kk
n
k
twtdwt
xx
T
®¥
=
D¾¾¾®
å
ò
.
Пример: Доказать, что
() () ()
( )
2
0
1
2
wtdwtw
T
=T-T
ò
.
Решение.
Заметим, что
k
w
D
имеет нормальное распределение с параметрами
(
)
h
,
поэтому
{
}
{
}
{
}
(
)
2
242
2
,33
kkk
MwhMwMwh
D=D=D=
по свойству гаус-
совского распределения. Заметим также, что
0
n
h
n
®¥
T
=¾¾¾®
. Рассмотрим и
преобразуем k-й член в интегральной сумме
(
)
n
x
I
:
( ) ( ) ( ) ( )
2
22
1
11
22
kkkkk
wtwwtwtw
+
éù
D=--D
ëû
. Отсюда получаем:
( ) ( ) ( ) () ( )
2
22
11
11
0
22
nn
nkkk
kk
wwtwwww
==
éù
I=D=T--D
ëû
åå
.
( ) ( )
22
11
nn
kk
kk
MwMwnh
==
ìü
D=D==T
íý
îþ
åå
,
( ) ( )
2
22
2
11
2
2
nn
kk
kk
DwDwnh
n
==
T
ìü
D=D==
íý
îþ
åå
, то есть
( )
2
1
0
n
k
n
k
Dw
®¥
=
ìü
D¾¾¾®
íý
îþ
å
, так
как
( ) ( )
{ }
( )
( )
2
242
222
1
32
n
kkk
k
DwMwMwhhh
=
ìü
D=D-D=-=
íý
îþ
å
. Таким образом,
( )
2
..
1
n
ск
k
n
k
w
®¥
=
D¾¾¾®T
å
, откуда в силу
(
)
00
w
=
и предыдущей теоремы
( ) ()
( )
.. 2
1
2
ск
n
n
ww
®¥
I¾¾¾®T-T
, что и требовалось доказать.
Стохастические дифференциальные уравнения
Введенные понятия с.к.-производной и интеграла позволяют рас-
смотреть проблему корректного описания линейного дифференциального
уравнения со случайными возмущениями в правой части и случайными
начальными условиями:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,0,
tattbttt
hhx
¢
=+³
(
)
0
hn
=
, (1)
где
(
)
t
h
¢
– с.к.-производная,
(
)
(
)
,
tt
hx
– с.к.-непрерывные при
0
t
³
слу-
чайная функция,
(
)
(
)
,
atbt
– непрерывные функции, а
n
– некоторая слу-
чайная величина. 
                                       n                               T

                                   å x ( t ) Dw
                                   k =1
                                           k        k     ® ò x ( t ) dw ( t ) .
                                                        ¾¾¾с .к
                                                          n ®¥
                                                                       0
                                                T
                                                                           1 2
             Пример: Доказать, что              ò w ( t ) dw ( t ) =       2
                                                                             ( w ( T) - T) .
                                                0

       Решение.
Заметим, что Dwk имеет нормальное распределение с параметрами ( 0, h ) ,

                   {          }            {        } ( {                      })
                                                                                    2
                          2                     4                          2
поэтому M Dwk                     = h, M Dwk            = 3 M Dwk                       = 3h2 по свойству гаус-
                                                                          T
совского распределения. Заметим также, что h =                              ¾¾¾  ® 0 . Рассмотрим и
                                                                           n n®¥
преобразуем             k-й       член         в                  интегральной    сумме       I n (x ) :
                 1                             1
w ( tk ) Dwk = éë w2 ( tk +1 ) - w2 ( tk ) ùû - ( Dwk ) . Отсюда получаем:
                                                       2

                 2                             2
             n
                               1 2                        1 n
I n ( w ) = å w ( tk ) Dwk = éë w ( T ) - w ( 0 ) ùû - å ( Dwk ) .
                                                 2                  2

            k =1               2                          2 k =1
   ì n           2ü
                        n
M íå ( Dwk ) ý = å M ( Dwk ) = nh = T ,
                              2

   î k =1         þ k =1
  ìn            2ü
                     n
                                     2T2              ìn       2ü
D íå ( Dwk ) ý = å D ( Dwk ) = n2h =     , то есть íå( Dwk ) ý ¾¾¾
                            2     2
                                                    D             n®¥
                                                                      ® 0 , так
  î k =1         þ k =1               n               î k =1    þ
         ì          2ü
                                   {           }(                  )
            n
                                           2 2
как D íå ( Dwk ) ý = M ( Dwk ) - M ( Dwk ) = 3h - h = 2h . Таким образом,
                              4                   2    2     2

         î k =1      þ
  n

 å ( Dw )                 ® T , откуда в силу w ( 0 ) = 0 и предыдущей теоремы
              2
         k        ¾¾¾
                    с.к .
                   n ®¥
 k =1

                       1 2
I n ( w ) ¾¾¾
            с.к .
           n ®¥
                  ®
                       2
                         ( w ( T ) - T ) , что и требовалось доказать.
        Стохастические дифференциальные уравнения

      Введенные понятия с.к.-производной и интеграла позволяют рас-
смотреть проблему корректного описания линейного дифференциального
уравнения со случайными возмущениями в правой части и случайными
начальными условиями:
       h ¢ ( t ) = a ( t )h ( t ) + b ( t ) x ( t ) , t ³ 0, h ( 0 ) = n , (1)
где h ¢ ( t ) – с.к.-производная, h ( t ) , x ( t ) – с.к.-непрерывные при t ³ 0 слу-
чайная функция, a ( t ) , b ( t ) – непрерывные функции, а n – некоторая слу-
чайная величина.

                                                           8

Страницы