Теория случайных процессов. Баркова Л.Н - 10 стр.

дартные винеровские процессы, а n Î R n – случайный вектор начальных
условий.
     Определение. Случайная функция x ( t ) является решением стохастиче-
ского дифференциального уравнения dx ( t ) = f ( t , x ( t ) ) dt + s ( t , x ( t ) ) dw ( t )
на D = [ 0, T] с начальным условием x ( 0 ) =n , если ее можно представить
для каждого t Î [ 0, T] в виде
               t                       t
x ( t ) =n +   ò f (t , x (t ) ) dt + ò s (t , x (t ) ) dw (t ),
               0                       0
                                                                    где первый интеграл в пра-

вой части понимается в с.к.-смысле, а второй интеграл является интегра-
лом Ито.
      Теорема. Пусть случайная величина n не зависит от {w ( t ) , t Î D} ,
M n{ } < ¥ , а коэффициенты уравнения
       2
                                                              f ( t , x ) , s ( t , x ) непрерывны по
переменным t Î D, x Î R . Пусть также
                       n


     а) найдется такое K < ¥ , что при всех t Î D, x Î R
                                                         n


                     f (t, x ) + s (t, x )
                              2                2
                                                      (
                                                   £ K 1+ x
                                                               2
                                                                   );
        б) найдется такое C < ¥ , что при всех t Î D, x, y Î R n
                     f (t, x ) - f (t, y ) + s (t, x ) - s (t, y )
                                           2                                2           2
                                                                                £ C x- y .
Тогда на D = [ 0, T] существует и единственно ( R - п.н ) непрерывное реше-
ние x ( t ) стохастического дифференциального уравнения с заданным на-

чальным условием, причем M x ( t )             {      2
                                                          } £ L (1+ M {n }) ,    2
                                                                                      t Î D , где кон-
станта L зависит лишь от T и K.


       Задачи.
       1. Случайная функция h ( t ) , t ³ 0 удовлетворяет уравнению
             h ¢ ( t ) = ah ( t ) + x , h ( 0 ) = n ,
       где x ,n образуют гауссовский случайный вектор, причем
            mx = M x , mn = Mn , dx = Dx , dn = Dt , r = cov (x ,n ) .
       Найти закон распределения случайной величины h ( t ) при любом t > 0.
                                                                        t
       2. Вычислить дисперсию интеграла h ( t ) =ò x (t ) dt , если случайная
                                                                        0

функция x ( t ) имеет ковариационную функцию Bx ( t ,t ) = De
                                                              -a t -t
                                                                      .

                                                     10