Теория случайных процессов. Баркова Л.Н - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
является решением уравнения (3), если матричная функция
(
)
t
Q
удовле-
творяет системе дифференциальных уравнений
(
)
(
)
(
)
()
,
0.
tatt
¢
Q=Qì
ï
í
Q=I
ï
î
(5)
Вычислим дифференциалы слагаемых в правой части выражения
(
)
t
, ис-
пользуя правило с.к.-дифференцирования и формулу Ито:
(
)
(
)
(
)
,
dttdt
nn
¢
Q=Q
() ()() () ()() ()
11
00
,
tt
dtudtudutdt
tttttt
--
æöéù
¢
QQ=QQ+
ç÷
êú
èøëû
òò
() ()() () () ()() () () ()
11
00
.
tt
dtbdwtbdwdtbtdwt
tttttt
--
æöéù
¢
QQ=QQ+
ç÷
êú
èøëû
òò
В последнем равенстве учтено, что для
() ()() ()
1
0
t
tbdw
httt
-
=Q
ò
по опре-
делению справедливо
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,
dttbtdwt
h
-
=Q
а по правилу Ито в силу
линейности преобразования
(
)
(
)
(
)
(
)
,
gtttt
hh
=Q
имеет место равенство
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
dttttdttdt
hhh
¢
Q=Q+Q
Итак, окончательно получаем
() () ()() ()() () () () ()
11
00
.
tt
dttudbdwdtutdtbtdwt
xntttttt
--
éù
¢
êú
=Q+Q+Q++
êú
ëû
òò
С учетом
(
)
(
)
(
)
tatt
¢
Q=Q
и формулы (4) имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dtattdtutdtbtdwt
xx
=++
,
причем начальное условие
(
)
(
)
00
xnn
=Q=
выполнено, поскольку
(
)
0.
Q=I
Таким образом, (4) действительно является решением уравнения (3).
Определение. Система дифференциальных уравнений
(
)
(
)
(
)
(
)
,0dtatdtudtbdwt
xxxn
=++=
(6)
с постоянными коэффициентами
,,
aub
называется асимптотически устой-
чивой, если все корни
{
}
k
l
уравнения
(
)
det0
a
l
-I=
лежат в левой полу-
плоскости, то есть
Re0
k
l
<
.
Справедлива теорема. Если система (6) асимптотически устойчива, то су-
ществуют
,
m
S
, такие, что для всех
,m
nn
S
(
)
mtm
®
и
(
)
t
S®S
при 
является решением уравнения (3), если матричная функция Q ( t ) удовле-
творяет системе дифференциальных уравнений
         ïìQ¢ ( t ) = a ( t ) Q ( t ) ,
          í                                                  (5)
        ïî        Q ( 0 ) = I.
Вычислим дифференциалы слагаемых в правой части выражения x ( t ) , ис-
пользуя правило с.к.-дифференцирования и формулу Ито:
                   d ( Q ( t )n ) = Q¢ ( t )n dt ,
               æ         t
                                            ö é           t
                                                                                         ù
             d ç Q ( t ) ò Q (t ) u (t ) dt ÷ = êQ¢ ( t ) ò Q-1 (t ) u (t ) dt + u ( t ) ú dt ,
                            -1

               è         0                  ø ë           0                              û

  æ         t
                                    ö            é t -1                    ù
d ç Q ( t ) ò Q (t ) b (t ) dw (t ) ÷ = Q¢ ( t ) ê ò Q (t ) b (t ) dw (t ) ú dt + b ( t ) dw ( t ) .
               -1

  è         0                       ø            ë0                        û
                                                                              t

В последнем равенстве учтено, что для h ( t ) = ò Q (t ) b (t ) dw (t ) по опре-
                                                   -1

                                                                              0

делению справедливо dh ( t ) = Q                  ( t ) b ( t ) dw ( t ) , а по правилу Ито в силу
                                                   -1


линейности преобразования g (h ( t ) , t ) = Q ( t )h ( t ) имеет место равенство
      d ( Q ( t )h ( t ) ) = Q¢ ( t )h ( t ) dt + Q ( t ) dh ( t ) .
Итак, окончательно получаем

                    é                                                    ù
dx ( t ) = Q¢ ( t )êê n +ò Q-1 (t ) u (t ) dt +ò Q-1 (t ) b (t ) dw (t )úú dt + u ( t ) dt + b ( t ) dw ( t ) .
                          t                     t


                    ë     0                     0                        û
С учетом Q¢ ( t ) = a ( t ) Q ( t ) и формулы (4) имеем
                              dx ( t ) = a ( t ) x ( t ) dt + u ( t ) dt + b ( t ) dw( t ) ,
причем        начальное         условие            x ( 0 ) = Q ( 0 )n =n             выполнено,   поскольку
Q ( 0 ) = I. Таким образом, (4) действительно является решением уравнения (3).

      Определение. Система дифференциальных уравнений
       dx ( t ) = ax ( t ) dt + udt + bdw ( t ) , x ( 0 ) = n       (6)
с постоянными коэффициентами a, u, b называется асимптотически устой-
чивой, если все корни {lk } уравнения det ( a - lI ) = 0 лежат в левой полу-
плоскости, то есть Re lk < 0 .
Справедлива теорема. Если система (6) асимптотически устойчива, то су-
ществуют m, S , такие, что для всех mn , Sn   m ( t ) ® m и S ( t ) ® S при

                                                          12

Страницы