Теория случайных процессов. Баркова Л.Н - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
3. Решить дифференциальное уравнение
(
)
(
)
(
)
(
)
,00
ttt
hahbxh
¢
+==
,
где
(
)
tUtV
x
=+
, где
,
– случайные функции с конечными вторыми
моментами,
,
ab
– постоянные коэффициеты.
4. Вычислить математическое ожидание и ковариационную функ-
цию системы
() () () () ()
()
,0,
,
0,
tAttBttt
hhx
hn
ì
¢
=+>
ï
ï
í
ï
=
ï
î
считая, что при ка-
ждом
0
t
³
случайные величины
(
)
,
t
nx
являются некоррелированными, а
функции
(
)
mt
x
и
(
)
12
,
Btt
x
известны.
5. Пусть центрированная случайная функция
(
)
t
x
имеет ковариаци-
онную функцию
(
)
2
,
Btt
x
tst
=
. Вычислить
2
M
h
, где
()
sin
t
tdt
p
hx
æö
=
ç÷
T
èø
ò
.
6. Решить стохастическое дифференциальное уравнение
() () () ()
()
1
,
2
01.
dttdttdwt
xxx
x
ì
=+
ï
í
ï
=
î
7. Пусть
(
)
t
x
решение уравнения
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
coscos,00.
dttdttdwt
xxxx
=+=
Показать, что
(
)
(
)
sin
tt
hx
=
также является решением некоторого
нелинейного стохастического дифференциального уравнения.
Линейные стохастические дифференциальные уравнения
Рассмотрим процесс
(
)
t
x
, удовлетворяющий линейному стохастиче-
скому дифференциальному уравнению
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
,
0
dtattutdtbtdwt
xx
xn
=++ì
ï
í
=
ï
î
(3)
с непрерывными коэффициентами
(
)
(
)
(
)
,,
atutbt
. Было показано, что это
уравнение имеет единственное решение. Найдем это решение явно. Для
этого покажем, что процесс
() () () ()() () ()() ()
11
00
tt
tttudtbdw
xntttttt
--
=Q+QQ+QQ
òò
(4) 
       3. Решить дифференциальное уравнение h¢ ( t ) + ah ( t ) = bx ( t ) , h ( 0) = 0 ,
где x ( t ) = Ut + V , где U , V – случайные функции с конечными вторыми
моментами, a , b – постоянные коэффициеты.

     4. Вычислить математическое ожидание и ковариационную функ-
              ì ¢
              ï h (t ) = A (t )h (t ) + B (t ) x (t ) , t > 0,
цию системы íï                                                 , считая, что при ка-
              ïî                  h  ( 0 ) = n ,
ждом t ³ 0 случайные величины n , x ( t ) являются некоррелированными, а
функции mx ( t ) и Bx ( t1 , t2 ) известны.
       5. Пусть центрированная случайная функция x ( t ) имеет ковариаци-
онную функцию Bx ( t ,t ) = s tt . Вычислить M h , где
                             2                  2


                          æ pt ö
        h = ò x ( t ) sin ç ÷dt .
                          èTø
       6. Решить стохастическое дифференциальное уравнение
           ì             1
           ï d x ( t ) = x ( t ) dt + x ( t ) dw ( t ) ,
           í             2
           ï
           î                x ( 0 ) = 1.
       7. Пусть x ( t ) решение уравнения
                  dx ( t ) = cos x ( t ) dt + cos x ( t ) dw ( t ) , x ( 0 ) = 0.
     Показать, что h ( t ) = sin x ( t ) также является решением некоторого
нелинейного стохастического дифференциального уравнения.

        Линейные стохастические дифференциальные уравнения

     Рассмотрим процесс x ( t ) , удовлетворяющий линейному стохастиче-
скому дифференциальному уравнению
       ìïd x ( t ) = a ( t ) x ( t ) + u ( t ) dt + b ( t ) dw ( t ) ,
        í                                                              (3)
      ïî                        x (0) = n
с непрерывными коэффициентами a ( t ) , u ( t ) , b ( t ) . Было показано, что это
уравнение имеет единственное решение. Найдем это решение явно. Для
этого покажем, что процесс
                            t                                   t
x ( t ) = Q ( t )n + Q ( t ) ò Q   -1
                                        (t ) u (t ) dt + Q ( t ) ò Q-1 (t ) b (t ) dw (t )   (4)
                           0                                    0




                                                        11

Страницы