Теория случайных процессов. Баркова Л.Н - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
Определение. Случайная функция
(
)
t
h
,
0
t
³
является решением
уравнения, рассмотренного выше, если при каждом
0
t
³
выполнено
() ()() () ()
0
t
tadbd
=++
òò
, где в правой части ра-
венства все интегралы понимаются в с.к.- смысле.
Для явного построения решения введем вспомогательную случайную
функцию
(
)
:
t
q
(
)
(
)
(
)
()
,0,
01.
tattt
qq
q
¢
=³
ì
ï
í
=
ï
î
(2)
Известно, что введенная функция
(
)
t
q
такова, что
(
)
0
t
q
¹
при любом
0
t
³
,
если
(
)
at
кусочно непрерывна.
Пример. Показать, что случайная функция
() () () ()() ()
1
,
tttbd
hqnqqttxtt
-
=+
ò
где
(
)
t
q
- решение уравнения (2) удовлетворяет уравнению (1).
Решение. Вычислим с.к.-производную функции
(
)
t
h
, пользуясь свой-
ствами операции с.к.-дифференцирования:
() () () ()() ()
1
0
t
d
tttbd
dt
hqnqqttxtt
-
éù
¢
=+=
êú
ëû
ò
=
() () ()() () () ()() ()
11
00
.
tt
d
ttbdtbd
dt
qnqqttxttqqttxtt
--
¢¢
++
òò
Применяя правило дифференцирования с.к.-интеграла по верхнему преде-
лу с учетом
(
)
(
)
(
)
tatt
qq
=
, получаем
() () () () ()() ()
1
0
t
tatttbd
hqnqqttxtt
-
éù
¢
=++
êú
ëû
ò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
.
ttbttattbtt
qqxhx
-
=+
Таким образом,
(
)
t
h
удовлетворяет уравнению (1) при всех
0
t
>
. Осталось
проверить выполнение начального условия:
(
)
(
)
00,
hqnn
==
поскольку
(
)
01.
q
=
Итак,
(
)
t
h
является решением уравнения (1), что и требовалось
показать.
Пусть теперь
(
)
(
)
(
)
,,,,
nnnm
tRftxRtxR
xs
´
ÎÎÎ
– матричная функ-
ция размера
(
)
(
)
,
m
nmwtR
´Î
–
m
-мерный стандартный винеровский
случайный процесс, компонентами которого являются независимые стан-
     Определение. Случайная функция h ( t ) , t ³ 0 является решением
уравнения, рассмотренного выше, если при каждом t ³ 0 выполнено
                                   t
                    h ( t ) =n + ò a (t )h (t ) dt + ò b (t ) x (t )dt , где в правой части ра-
                                   0

венства все интегралы понимаются в с.к.- смысле.
     Для явного построения решения введем вспомогательную случайную
функцию q ( t ) :
            ìïq ¢ ( t ) = a ( t ) q ( t ) , t ³ 0,
             í                                                              (2)
             ïî            q ( 0 ) = 1.
Известно, что введенная функция q ( t ) такова, что q ( t ) ¹ 0 при любом t ³ 0 ,
если      a ( t ) кусочно непрерывна.
         Пример. Показать, что случайная функция
                    h ( t ) = q ( t )n + q ( t ) ò q -1 (t ) b (t ) x (t ) dt ,

где q ( t ) - решение уравнения (2) удовлетворяет уравнению (1).
      Решение. Вычислим с.к.-производную функции h ( t ) , пользуясь свой-
ствами операции с.к.-дифференцирования:
                 d é                                             ù
                                    t
      h ( t ) = êq ( t )n + q ( t ) ò q -1 (t ) b (t ) x (t ) dt ú =
          ¢
                 dt ë               0                            û
                                       t                                          t
                                                                      d
          = q ¢ ( t )n + q ¢ ( t ) ò q (t ) b (t ) x (t ) dt + q ( t ) ò q (t ) b (t ) x (t ) dt .
                                           -1                              -1

                                   0
                                                                      dt 0
Применяя правило дифференцирования с.к.-интеграла по верхнему преде-
лу с учетом q ( t ) = a ( t ) q ( t ) , получаем
                    é                   t
                                                                     ù
h ¢ ( t ) = a ( t ) êq ( t )n + q ( t ) ò q -1 (t ) b (t ) x (t ) dt ú +
                    ë                   0                            û
q ( t ) q ( t ) b ( t ) x ( t ) = a ( t )h ( t ) + b ( t ) x ( t ) .
           -1


Таким образом, h ( t ) удовлетворяет уравнению (1) при всех t > 0 . Осталось
проверить выполнение начального условия: h ( 0 ) = q ( 0 )n = n , поскольку
q ( 0 ) = 1. Итак, h ( t ) является решением уравнения (1), что и требовалось
показать.
        Пусть теперь x ( t ) Î R , f ( t , x ) Î R , s ( t , x ) Î R
                                 n                n                  n´m
                                                                         – матричная функ-
ция размера ( n ´ m ) , w ( t ) Î R – m -мерный стандартный винеровский
                                   m


случайный процесс, компонентами которого являются независимые стан-

                                                          9

Страницы