Теория случайных процессов. Баркова Л.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
где
,
ab
– неслучайные числа;
{
(
)
}
{
(
)
}
12
,
tt
xx
– простые
F
согласо-
ванные случайные функции.
2.
() ()
0
0
Mtdwt
x
T
=
ò
.
3. Изометрия Ито.
() () ()
( )
2
2
00
MtdwtMtdt
xx
TT
æö
=
ç÷
èø
òò
.
Замечание:
() ()
( )
() () () ()
[ ]
2
2
2
2
22
2
0,
000
,,
L
L
L
tdwtMtdwttdtt
xxxx
TTT
T
WAR
æö
===
ç÷
èø
òòò
.
Интеграл
(
)
x
I
для с.к.-непрерывной на
[
]
0,
D=T
функции
(
)
t
x
можно ввести и по-другому.
Определение 2 (стохастического интеграла Ито)
Рассмотрим
(
)
{
}
0
t
t
x
³
– с.к.-непрерывную функцию, заданную на ко-
нечном промежутке
[
]
0,
D=T
и согласованную с потоком σ-алгебр
{
}
0
t
t
F
³
,
где
[
]
{
}
,0,
ts
Fwst
s
=Î
, в этом случае стохастический интеграл
() () ()
0
tdwt
xx
T
I=
ò
существует и обладает свойствами 1–3.
Пусть
(
)
t
x
– с.к.-непрерывная функция на
[
]
0,
D=T
. Пусть
1
n
k
k =
D=D
U
– раз-
биение интервала
D
на
n
подынтервалов одинаковой длины
k
n
T
D=
. Пусть
{
}
,1,...,
k
tkn
=
– точки разбиения, тогда
1kk
tth
+
-=
. Обозначим
() ()
1
n
nkk
k
tw
xx
=
I=D
å
, где
k
w
D
– приращения процесса
(
)
wt
на промежутке
k
D
, тогда справедлива следующая теорема:
если
(
)
{
}
0
t
t
x
³
– с.к.-непрерывная на
{
}
0
R
+
U
, согласованная с потоком
{
}
0
t
t
F
³
случайная функция и
1
,
n
k
k =
D=D
å
, тогда 
где a , b – неслучайные числа;                               {       x1 ( t )       }, {   x2 ( t )       }   – простые Ft согласо-
ванные случайные функции.
                       T

        2. M ò x ( t ) dw ( t ) = 0 .
                       0



        3.             Изометрия Ито.
                                                                 2
                                          æT                   ö   T
                                        M ç ò x ( t ) dw ( t ) ÷ = ò M (x 2 ( t ) ) dt .
                                          è0                   ø   0

        Замечание:
                           2                                                    2
 T
                                                  æT                   ö               T              2                      2

 ò x ( t ) dw ( t )                           = M ç ò x ( t ) dw ( t ) ÷ =
                                                  è0                   ø
                                                                                       ò   x ( t ) dt = x ( t )          L2 L2 [ 0, T]   .
 0                         L2 ( W , A , R )                                            0

    Интеграл I (x ) для с.к.-непрерывной на D = [ 0, T ] функции x ( t )
можно ввести и по-другому.

            Определение 2 (стохастического интеграла Ито)

            Рассмотрим {x ( t )}t ³0 – с.к.-непрерывную функцию, заданную на ко-
нечном промежутке D = [ 0, T] и согласованную с потоком σ-алгебр { Ft }t ³0 ,
где     Ft = s {ws , s Î[ 0, t ]} , в этом случае стохастический интеграл
            T
I (x ) = ò x ( t ) dw ( t ) существует и обладает свойствами 1–3.
            0
                                                                                                                                 n

Пусть x ( t ) – с.к.-непрерывная функция на D = [ 0, T] . Пусть D = U D k – раз-
                                                                                                                              k =1
                                                                                                                                  T
биение интервала D на n подынтервалов одинаковой длины D k =                                                                        . Пусть
                                                                                                                                  n
{tk } , k = 1,..., n                 –        точки      разбиения,                   тогда               tk +1 - tk = h .       Обозначим
                 n
I n (x ) = å x ( tk ) Dwk , где Dwk – приращения процесса w ( t ) на промежутке
                k =1

D k , тогда справедлива следующая теорема:
если {x ( t )}t ³0 – с.к.-непрерывная на R+ U{0} , согласованная с потоком
                                                                 n
{Ft }t ³0   случайная функция и D = å D k , , тогда
                                                             k =1




                                                                          7

Страницы