Высшая математика. Раздел: Определители. Аналитическая геометрия. Баркова Л.Н. - 22 стр.

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия                                22

на ось называется число     ПРu a = a cos ϕ   , где ϕ - угол наклона
вектора к оси u . Проекции произвольного вектора a на координатные
оси называются координатами вектора. В этом случае вектор
записывается с помощью координат: a ={x, y, z}. Модуль вектора в этом
случае находится по формуле: a = x 2 + y 2 +z 2 .
     Если даны две точки M 1 (x1 , y1 , z1 ) и                   M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , то
координаты вектора M 1 M 2 находятся по формулам:
                 x =x 2 −x1 ; y = y 2 −y1 ; z =z 2 −z1 .
     Если даны два вектора           a ={x1 , y1 , z1 } и b ={x 2 , y 2 , z 2 } , то
a +b ={x1 +x 2 , y1 +y 2 , z1 +z 2 }; a −b ={x1 −x 2 ; y1 −y 2 ; z1 −z 2 } .
     Если α - произвольное число, то α a ={α x1 α y1 , α z1 } . Векторы,
лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются
коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов a ={x1 , y1 , z1 }
и   b ={x 2 , y 2 , z 2 }
                   является пропорциональность их координат:
                             x1 y1 z1
                                 = = .
                             x2 y 2 z 2
     Скалярным произведением двух векторов a и b называется число,
равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними, т.е.
                        (a , b ) = a ⋅ b ⋅ cos ϕ .
       Если векторы a и b перпендикулярны, то (a , b ) =0 . Произведение
(a, a ) называется скалярным квадратом вектора, причем
                                           2
                                       a       =a 2 .
      Если векторы a и b заданы своими координатами: a ={x1 , y1 , z1 }
и b ={x 2 , y 2 , z 2 } , то их скалярное произведение может быть вычислено
по формуле:
                              (a , b ) =x1 x2 +y1 y 2 +z1 z 2 .
      Необходимым и достаточным условием перпендикулярности
векторов является равенство: x1 x 2 +y1 y 2 +z1 z 2 =0 .
      Косинус угла между векторами a и b определяется по формуле
 cos ϕ =
         (a , b ) , или в координатах cos ϕ =                x1 x 2 +y1 y 2 +z1 z 2
                                                                                        .
         a ⋅b                                           2       2    2      2
                                                       x1 +y1 +z1 ⋅ x 2 +y 2 +z 2   2 2


      Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор
c =[a , b ] , который определяется тремя условиями:
      1) c = a ⋅ b ⋅ sin α , где α - угол между векторами a и b ;
       2) вектор c перпендикулярен каждому из векторов a и b ;