Высшая математика. Раздел: Определители. Аналитическая геометрия. Баркова Л.Н. - 24 стр.

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия                24

Решение.
     а) Из определения векторного произведения известно, что:
                                   1
                           S ∆ABC = AB ×AC .
                                   2
     Находим векторы AB и AC , используя формулу
                   M 1 M 2 ={x 2 −x1 , y 2 −y1 , z 2 −z1 };
                   AB =(2, 4, −1); AC =(−1, −1, −2 ).
     Для векторов, заданных своими проекциями,                    векторное
произведение находится по формуле
                       i    j k
                                        a =(a x , a y , a z )
               a ×b = a x a y a z , где                      .
                                        b =(bx , b y , bz )
                      b x b y bz
      Для нашего случая
                          i  j k
                 AB ×AC = 2 4 −1 =−9i +5 j +2k .
                         −1 −1 −2
      Длину полученного вектора находим, используя формулу
                   a = a x2 +a y2 +a z2   a =(a x , a y , a z )

                   AB ×AC = 9 2 +5 2 +2 2 = 110
и тогда
                                 1
                           S ∆ABC =  110 (кв.ед.)
                                 2
      б) Смешанное произведение трех векторов по абсолютной величине
равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c как
на ребрах.
      Смешанное произведение вычисляется по формуле:
                                   ax a y az
                       a ⋅ b ⋅ c = bx b y bz .
                                   cx c y cz
     Найдем векторы AB, AC , AD , совпадающие с ребрами пирамиды,
сходящимися к вершине A :
                         AB =2i +4 j −k
                         AC =−i − j −2k .
                       AD =−4i −3 j −5k
     Смешанное произведение этих векторов