Высшая математика. Раздел: Определители. Аналитическая геометрия. Баркова Л.Н. - 25 стр.

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия                      25

                                   2     4 −1
                   AB ⋅ AC ⋅ AD = −1 −1 −2 =11 .
                                  −4 −3 −5
                                        1
     Так как объем пирамиды равен         части объема параллелепипеда,
                                        6
                                                        11
построенного на векторах AB, AC , AD , то V ПИР =          (куб.ед.).
                                                         6
     в) Используя формулу          a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ , определяющую
скалярное произведение векторов a, b , можно записать так:
                      a ⋅ b = a ⋅ ПРa ⋅ b = b ⋅ ПРb ⋅ a ,
                                                              a ⋅b   a ⋅b
      где    ПРa ⋅ b = b ⋅ cos ϕ      или ПРa ⋅ b = b ⋅            =      ;
                                                              a ⋅b    a
                                                             a ⋅b   a ⋅b
       ПРb ⋅ a = a ⋅ cos ϕ      или        ПРb ⋅ a = a ⋅          =      .
                                                             a ⋅b    b
     Для нахождения проекции вектора AC                    на направление вектора
BD       находим координаты векторов                            AC =−i − j −2k ,
BD =−6i −7 j −4k , а затем, применяя формулу
                                           AC ⋅ BD
                             ПРBD ⋅ AC =               ,
                                             BD
получаем
       ПРBD ⋅ AC =
                     (−1)⋅ (−6)+(−1)⋅ (−7 )+(−2)⋅ (−4) =         21
                                                                     =2,1 .
                             (−6)2 +(−7)2 +(−4)2                 101
    г) Для нахождения угла     ABC определяем векторы BA, BC                    ,
имеющие общее начало в точке B :
                         BA =−2i −4 j +k
                                           .
                         BC =−3i −5 j −k
    Затем по формуле скалярного произведения
                   BA ⋅ BC = BA ⋅ BC ⋅ cos ∠ABC
находим
                                         BA ⋅ BC
                          cos ∠ABC =               ,
                                         BA ⋅ BC
                          6 +20 +1           25     25
      cos ∠ABC =                         =        =     =0,92.
                     4 +16 +1 ⋅ 9 +25 +1   21 ⋅ 35 7 15