Высшая математика. Раздел: Определители. Аналитическая геометрия. Баркова Л.Н. - 23 стр.

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия                            23

      3) вектор c направлен так, чтобы векторы a, b и c , взятые в
указанном порядке, составляли правую тройку векторов.
      Для векторного произведения справедливы следующие свойства:
      1) [a , b ]=−[b , a ] ;
      2)       [a, b ] -   есть площадь параллелограмма, построенного на
векторах a и b ;
      3)         [a , b ]=0 тогда и только тогда, когда векторы a и b
коллинеарны. В частности, [a , a ] =0 .
      Если           векторы     заданы     координатами    a ={x1 , y1 , z1 } и
b ={x 2 , y 2 , z 2 }, то координаты их векторного произведения определяются
формулой:
                                                              i     j k
                  y1 z1        x1 z1    x1 y1 
    [a , b ]= y z , − x z , x y  или [a , b ]= x1 y1 z1 ,
                  2       2     2   2    2    2 
                                                             x2 y2 z2

где i, j, k единичные векторы на осях координат.
       Смешанным произведением трех векторов a , b , c                называется
число, равное векторному произведению                  [a, b ] , умноженному
скалярно на вектор c , т.е. a b c =([a , b ]c ) . Смешанное произведение
равно объему параллелепипеда, построенного на векторах                        a,b , c ,
взятому со знаком «плюс», если тройка векторов a , b , c правая, и со
знаком «минус», если тройка левая. Необходимым и достаточным
условием компланарности векторов является равенство нулю их
смешанного произведения, т.е. a , b , c =0 . Если векторы a , b , c заданы
координатами a ={x1 , y1 , z1 } , b ={x 2 , y 2 , z 2 } , c ={x3 , y 3 , z 3 } , то
         x1 y1 z1
a b c = x2 y 2 z 2 .
        x3 y 3 z 3
       Пример. Вершины пирамиды находятся в точках:
                 A(2,3,4), B (4,7,3), C (1,2,2), D (−2,0,−1).
       Вычислить:
       а) площадь грани ABC ;
       б) объем пирамиды ABCD ;
       в) проекцию вектора AC на направление вектора BD ;
       г) угол ABC ;
       д) проверить, что векторы AB, BC , AC компланарны.