Составители:
Рубрика:
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ МЕТОДОМ
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины
,
соответствующих значениям аргумента
, и необходимо установить
эмпирическую зависимость между
y и t.
12
, ,...,
n
yy y
12
, ,...,
n
tt t
Очевидно, что если соединить последовательно все эти точки, то получим
ломаную линию, которая ничего общего не будет иметь с искомой зависимостью
. Это следует хотя бы из того, что форма этой ломаной линии не будет
воспроизводится при повторных сериях измерений. Измеренные значения
будут в
общем случае смещены относительно искомой кривой
()
yft=
i
y
(
)
yft
=
как в сторону
больших, так и в сторону меньших значений, вследствие статистического разброса.
Задача состоит в том, чтобы по данным экспериментальным точкам провести
кривую (не ломаную), которая проходила бы как можно ближе к истинной
функциональной зависимости
(
)
yft
=
. Теория вероятности показывает, что
наилучшим приближением будет такая кривая (или прямая) линия, для которой сумма
квадратов расстояний по вертикали от точек до кривой будет минимальной. Этот метод
и называется методом наименьших квадратов. Сущность этого метода состоит в
следующем.
Предположим, что искомая зависимость выражается функцией
, где
()
12
,, ,...,
m
yftAA A=
12
, ,...,
m
A
AA
i
y
– параметры. Значения этих параметров
определяются так, чтобы точки
располагались по обе стороны кривой как
можно ближе к последней, т.е. чтобы сумма квадратов отклонений измеренных
значений от функции
()
yft=
i
y
(
)
yft
=
была наименьшей. Это соответствует
предположению, что разброс точек
относительно кривой
i
y
(
yft
)
=
подчиняется
закону нормального распределения. Мерой этого разброса является дисперсия или ее
приближенное выражение – средний квадрат отклонений, т.е.
()
(
)
()
(
)
22
2
11
11
nn
n
jj j j
jj
Syyt yft
nn
==
∆= − = −
∑∑
, (П2.1)
и требование минимального разброса соответствует требованию минимального
значения этого среднего квадрата.
Как известно, функция
()
f
A принимает минимальное значение при
min
A
A= ,
если ее первая производная
(
)
f
AdfdA
=
′
равна нулю, а вторая производная
()
22
f
AdfdA=
′′
положительна при
min
A
A
=
. Для функции многих переменных эти
условия заменяются требованием, чтобы частные производные, т.е. производные по
параметру
i
A
, удовлетворяли вышеупомянутым условиям, причем все остальные
параметры
(
j
)
A
j≠ i при вычислении производных считаются постоянными.
Таким образом, из условий минимума мы получаем систему уравнений для
56
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
