Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

34
все условия интерполяции. Если известна исходная функция
g(x), то можно оценить погрешность метода в произвольной
точке z ∈ [a, b]: r(z) = |g(z) – F(z)|. Кроме того, можно оценивать
равномерную r
1
и среднеквадратичную r
2
погрешности:
)(max
],[
1
zrr
baz∈
= ,
()
dz)z(rr
b
a
∫
=
2
2
.
Нас будет интересовать поведение погрешности метода при
увеличении числа узлов интерполяции. Будем говорить, что ме-
тод сходится, если при N→
∞
погрешность r → 0.
Все методы интерполяции можно разделить на локальные и
глобальные. В случае локальной интерполяции на каждом ин-
тервале [x
i–1
, x
i
] строится своя (локальная) функция. В случае
глобальной интерполяции отыскивается одна (глобальная)
функция на всем интервале [a, b]. Далее приведены примеры
различных способов интерполяции.
3.2. Локальная интерполяция
Кусочно-постоянная интерполяция. На каждом локальном
отрезке [x
i–1
, x
i
], i = 1, 2,…, N, интерполирующая функция явля-
ется постоянной и равна левому: F
i
(z) = f
i
или правому: F
i
(z) = f
i
значению. Легко понять, что условия интерполяции выполняют-
ся. Построенная функция разрывная (рис. 3.1а), что ограничива-
ет ее применение. Кроме того, в случае малого числа точек та-
кая интерполяция дает большую погрешность.
Кусочно-линейная интерполяция. На каждом интервале
[x
i–1
, x
i
] функция является линейной F
i
(z) = k
i
z+l
i
. Значения ко-
эффициентов находятся из выполнения условий интерполяции на
концах отрезка: F
i
(x
i–1
) = f
i–1
, F
i
(x
i
) = f
i
. Получаем систему урав-
нений: k
i
x
i–1
+l
i
= f
i–1
, k
i
x
i
+l
i
= f
i
,, откуда находим ,
1
1
−
−
−
−
=
ii
ii
i
xx
ff
k
iiii
xkfl
−
= . Итоговая функция будет непрерывной, но произ-
водная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Погреш-
ность такой интерполяции будет меньше, чем в предыдущем
случае. Иллюстрация кусочно-линейной интерполяции приве-
дена на рис. 3.1б. 
все условия интерполяции. Если известна исходная функция
g(x), то можно оценить погрешность метода в произвольной
точке z ∈ [a, b]: r(z) = |g(z) – F(z)|. Кроме того, можно оценивать
равномерную r1 и среднеквадратичную r2 погрешности:
                                                b
                   r1 = max r ( z ) ,      r2 = ∫ (r( z )) dz .
                                                         2

                        z∈[ a , b ]             a
    Нас будет интересовать поведение погрешности метода при
увеличении числа узлов интерполяции. Будем говорить, что ме-
тод сходится, если при N→ ∞ погрешность r → 0.
    Все методы интерполяции можно разделить на локальные и
глобальные. В случае локальной интерполяции на каждом ин-
тервале [xi–1, xi] строится своя (локальная) функция. В случае
глобальной интерполяции отыскивается одна (глобальная)
функция на всем интервале [a, b]. Далее приведены примеры
различных способов интерполяции.
                  3.2. Локальная интерполяция
      Кусочно-постоянная интерполяция. На каждом локальном
отрезке [xi–1, xi], i = 1, 2,…, N, интерполирующая функция явля-
ется постоянной и равна левому: Fi(z) = fi или правому: Fi(z) = fi
значению. Легко понять, что условия интерполяции выполняют-
ся. Построенная функция разрывная (рис. 3.1а), что ограничива-
ет ее применение. Кроме того, в случае малого числа точек та-
кая интерполяция дает большую погрешность.
      Кусочно-линейная интерполяция. На каждом интервале
[xi–1, xi] функция является линейной Fi(z) = kiz+li. Значения ко-
эффициентов находятся из выполнения условий интерполяции на
концах отрезка: Fi(xi–1) = fi–1, Fi(xi) = fi. Получаем систему урав-
                                                            f − f i −1
нений: kixi–1+li = fi–1, kixi+li = fi,, откуда находим ki = i          ,
                                                            xi − xi −1
li = f i − ki xi . Итоговая функция будет непрерывной, но произ-
водная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Погреш-
ность такой интерполяции будет меньше, чем в предыдущем
случае. Иллюстрация кусочно-линейной интерполяции приве-
дена на рис. 3.1б.
                                      34

Страницы