Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

35
x
y
x
N
x
i
f
0
f
N
f
i
x
0
а
x
y
x
N
x
i–1
f
0
f
N
x
0
б
x
i
f
i–1
f
i
Рис. 3.1. Левая кусочно-постоянная (а)
и кусочно-линейная (
б) интерполяции
Кусочно-параболическая интерполяция. На каждом i-м ин-
тервале [x
i–1
, x
i
], i = 1, 2,…, N, функция является параболой вида
F
i
(z) = a
i
+ b
i
(z – x
i
) + c
i
/2(z – x
i
)
2
. Значения коэффициентов a
i
, b
i
,
c
i
находятся из условий интерполяции, непрерывности функции
и ее первой производной в узлах интерполяции.
Кубический интерполяционный сплайн. Название метода про-
исходит от английского слова «spline». Так называлась гибкая
линейка, использовавшаяся корабельными инженерами вместо
лекал. Форма этого универсального лекала на каждом отрезке
описывается кубической параболой. Сплайны широко применя-
ются в инженерных приложениях, в
частности в компьютерной
графике. Итак, на каждом i-м интервале [x
i–1
, x
i
], i = 1, 2,…, N,
решение будем искать в виде полинома третьей степени:
S
i
(x) = a
i
+ b
i
(x – x
i
) + c
i
(x – x
i
)
2
/2 + d
i
(x – x
i
)
3
/6.
Неизвестные коэффициенты a
i
, b
i
, c
i
, d
i
, i = 1, 2,..., N, находим:
–
из условий интерполяции: S
i
(x
i
) = f
i
, i = 1, 2,..., N, S
1
(x
0
) = f
0
;
–
непрерывности функции S
i
(x
i–1
) = S
i–1
(x
i–1
), i = 2, 3,..., N;
–
непрерывности первой и второй производной:
S
′
i
(x
i–1
) = S
′
i–1
(x
i–1
), S
′′
i
(x
i–1
) = S
′′
i–1
(x
i–1
), i = 2, 3,..., N.
Для определения 4N неизвестных получаем систему 4N–2 урав-
нений:
a
i
= f
i
, i = 1, 2,..., N,
b
i
h
i
– c
i
h
i
2
/2 + d
i
h
i
3
/6 = f
i
– f
i–1
, i = 1, 2,..., N,
b
i
– b
i–1
= c
i
h
i
– d
i
h
i
2
/2, i = 2, 3,..., N, 
 y          а                               y         б
                                                                                  fN
 fN
                                                                        fi
 fi
                                                f0        fi–1
 f0


                                       x                                          x
       x0           xi            xN             x0         xi–1   xi        xN

                 Рис. 3.1. Левая кусочно-постоянная (а)
                 и кусочно-линейная (б) интерполяции

     Кусочно-параболическая интерполяция. На каждом i-м ин-
тервале [xi–1, xi], i = 1, 2,…, N, функция является параболой вида
Fi(z) = ai + bi(z – xi) + ci/2(z – xi)2. Значения коэффициентов ai, bi,
ci находятся из условий интерполяции, непрерывности функции
и ее первой производной в узлах интерполяции.
    Кубический интерполяционный сплайн. Название метода про-
исходит от английского слова «spline». Так называлась гибкая
линейка, использовавшаяся корабельными инженерами вместо
лекал. Форма этого универсального лекала на каждом отрезке
описывается кубической параболой. Сплайны широко применя-
ются в инженерных приложениях, в частности в компьютерной
графике. Итак, на каждом i-м интервале [xi–1, xi], i = 1, 2,…, N,
решение будем искать в виде полинома третьей степени:
              Si(x) = ai + bi(x – xi) + ci(x – xi)2/2 + di(x – xi)3/6.
Неизвестные коэффициенты ai, bi, ci, di, i = 1, 2,..., N, находим:
– из условий интерполяции: Si(xi) = fi, i = 1, 2,..., N, S1(x0) = f0;
– непрерывности функции Si(xi–1) = Si–1(xi–1), i = 2, 3,..., N;
– непрерывности первой и второй производной:
        S′i(xi–1) = S′i–1(xi–1), S′′i(xi–1) = S′′i–1(x i–1), i = 2, 3,..., N.
Для определения 4N неизвестных получаем систему 4N–2 урав-
нений:
                             ai = fi, i = 1, 2,..., N,
             bi hi – cihi /2 + di hi3/6 = fi – fi–1, i = 1, 2,..., N,
                         2

                  bi – bi–1 = ci hi – di hi2/2, i = 2, 3,..., N,
                                       35

Страницы