Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 36 стр.

                 3.3. Глобальная интерполяция
    Будем искать интерполирующую функцию в виде полинома
(многочлена) m-й степени Pm(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + amxm.
Какова должна быть степень многочлена, чтобы удовлетворить
всем условиям интерполяции? Допустим, что заданы две точки:
(x0, f0) и (x1, f1). Через эти точки можно провести единственную
прямую, т.е. интерполирующей функцией будет полином пер-
вой степени P1(x) = a0 + a1x. Через три точки можно провести
параболу P2(x) = a0 + a1x + a2x2 и т.д. Рассуждая таким образом,
можно предположить, что искомый полином должен иметь сте-
пень N.
      Чтобы доказать это, выпишем систему уравнений на коэф-
фициенты. Уравнения системы представляют собой условия ин-
терполяции при каждом x = xi:
      ⎧ PN ( x1 ) = a0 + a1 x1 + a2 x12 + a3 x13 + … + aN x1N = f1
      ⎪
      ⎪ PN ( x2 ) = a0 + a1 x2 + a2 x2 + a3 x2 + … + a N x2 = f 2
                                       2        3            N

      ⎨                                                              .
      ⎪ ...
      ⎪P (x ) = a + a x + a x 2 + a x3 + … + a x N = f
      ⎩ N N           0    1 N       2 N      3 N          N N     N
      Данная система является линейной относительно искомых
коэффициентов a0, a1, a2,…, aN. Известно, что СЛАУ имеет ре-
шение, если ее определитель отличен от нуля. Определитель
данной системы
                      1   x1   ... x1N
                  Δ = 1 x2     ... x2N =     ∏ ( xk − xm )
                      ...           ... 0≤ k < m ≤ N
                      1 xN         x NN
носит имя Вандермонда. Из курса математического анализа из-
вестно, что он отличен от нуля, если xk ≠ xm (т.е. все узлы интер-
поляции различные). Таким образом, доказано, что система
имеет решение.
     Мы показали, что для нахождения коэффициентов
a0, a1, a2,…, aN надо решить СЛАУ, что является сложной зада-

                                  38