Составители:
40
],[),(
)!1(
)(
)(
1
0
)1(
baxz
N
g
zr
N
i
i
N
∈−
+
=
∏
+
=
+
ξ
ξ
.
Из этой формулы следует, что погрешность метода зависит от
свойств функции g(x), а также от расположения узлов интерполя-
ции и точки z. Как показывают расчетные эксперименты, полином
Лагранжа имеет малую погрешность при значениях N < 20. При
бόльших N погрешность начинает расти, что свидетельствует о
том, что метод Лагранжа не сходится
(т.е. его погрешность не
убывает с ростом N).
Для вычисления значений полинома нужно выполнить ко-
личество действий, пропорциональное N
2
. В случае небольшого
числа N их можно выполнить на калькуляторе. Если N велико,
для вычислений необходимо использовать ЭВМ. На рис. 3.3
приведен тест программы MathCAD для нахождения в точке
z = 0.35 значения полинома Лагранжа, интерполирующего функ-
цию f = sin(x).
fx( ) sin x():= x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6()
T
:= yfx():=
lagrang z() s 0←
p1←
pp
zx
k
−
()
x
i
x
k
−
()
⋅← ik≠if
k06,∈for
ssy
i
p⋅+←
i06,∈for
s
:=
lagrang 0.35()
= f 0.35()=
Рис. 3.3.
Построение интерполирующего полинома Лагранжа
g ( N +1) (ξ ) N +1 r ( z) = ∏ ( z − xi ), ξ ∈ [a, b] . ( N + 1)! i = 0 Из этой формулы следует, что погрешность метода зависит от свойств функции g(x), а также от расположения узлов интерполя- ции и точки z. Как показывают расчетные эксперименты, полином Лагранжа имеет малую погрешность при значениях N < 20. При бόльших N погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что метод Лагранжа не сходится (т.е. его погрешность не убывает с ростом N). Для вычисления значений полинома нужно выполнить ко- личество действий, пропорциональное N 2. В случае небольшого числа N их можно выполнить на калькуляторе. Если N велико, для вычислений необходимо использовать ЭВМ. На рис. 3.3 приведен тест программы MathCAD для нахождения в точке z = 0.35 значения полинома Лагранжа, интерполирующего функ- цию f = sin(x). T f ( x) := sin ( x) x := ( 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 ) y := f ( x) lagrang ( z) := s←0 for i ∈ 0 , 6 p←1 for k ∈ 0 , 6 p ← p⋅ (z − xk) if i ≠ k (xi − xk) s ← s + y ⋅p i s lagrang ( 0.35) = f ( 0.35) = Рис. 3.3. Построение интерполирующего полинома Лагранжа 40
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »