Составители:
42
23
4
2
321
1
2
1
34321
)())((),,,(
iiii
N
i
N
i
ii
fxaxaxaafxPaaaaG −+++=−=
∑∑
==
.
Найдем минимум этого функционала. Для этого приравня-
ем нулю его частные производные по переменным a
1
, a
2
, a
3
, a
4
.
Используя стандартные правила дифференцирования, получим:
.0)(2
,0)(2
,0)(2
,0)(2
3
4
2
321
1
3
4
3
4
2
321
1
2
3
1
3
4
2
321
2
1
3
4
2
321
1
=−+++=
=−+++=
=−+++=
=−+++=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
iiii
N
i
i
iiii
N
i
i
N
i
iiiii
N
i
iiii
fxaxaxaax
a
G
fxaxaxaax
a
G
fxaxaxaax
a
G
fxaxaxaa
a
G
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Собирая коэффициенты при неизвестных a
i
, получим
СЛАУ относительно вектора неизвестных
(a
1
, a
2
, a
3
, a
4
):
.
,
,
,
3
11
4
6
1
3
5
1
2
4
1
1
3
2
11
4
5
1
3
4
1
2
3
1
1
2
11
4
4
1
3
3
1
2
2
1
1
11
4
3
1
3
2
1
21
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
xfaxaxaxax
xfaxaxaxax
xfaxaxaxax
faxaxaxaN
⋅=⋅+⋅+⋅+⋅
⋅=⋅+⋅+⋅+⋅
⋅=⋅+⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅+⋅
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
=====
=====
=====
====
Полученная система называется нормальной. Для ее реше-
ния используют стандартные методы решения СЛАУ. Как пра-
вило, число неизвестных системы (т.е. число коэффициентов
интерполирующей функции) невелико, поэтому можно приме-
нять точные методы решения СЛАУ, например, метод Крамера
или метод Гаусса.
Метод наименьших квадратов позволяет «приблизить» ис-
ходные данные с помощью линейной
комбинации любых элемен-
тарных функций. Часто используются приближения линейной
N N
G (a1 , a2 , a3 , a4 ) = ∑ ( P ( x ) − f ) = ∑ (a
i =1
3 i i
2
i =1
1 + a2 xi + a3 xi2 + a4 xi3 − f i ) 2 .
Найдем минимум этого функционала. Для этого приравня-
ем нулю его частные производные по переменным a1, a2, a3, a4.
Используя стандартные правила дифференцирования, получим:
∂G N
= 2 ∑ ( a1 + a 2 xi + a3 xi2 + a 4 xi3 − f i ) = 0,
∂a1 i =1
∂G N
= 2 ∑ xi ( a1 + a 2 xi + a3 xi2 + a 4 xi3 − f i ) = 0,
∂a 2 i =1
∂G N
= 2 ∑ xi2 (a1 + a 2 xi + a3 xi2 + a 4 xi3 − f i ) = 0,
∂a 3 i =1
∂G N
= 2 ∑ xi3 (a1 + a 2 xi + a3 xi2 + a 4 xi3 − f i ) = 0.
∂a 4 i =1
Собирая коэффициенты при неизвестных ai, получим
СЛАУ относительно вектора неизвестных (a1, a2, a3, a4):
N N N N
N ⋅a1 + ∑ x ⋅ a +∑ x
i =1
i 2
i =1
2
i ⋅ a3 + ∑x
i =1
3
i ⋅ a4 = ∑f,
i =1
i
N N N N N
∑x ⋅a + ∑x
i =1
i 1
i =1
2
i ⋅ a2 + ∑xi =1
3
i ⋅ a3 + ∑x
i =1
4
i ⋅ a4 = ∑f i =1
i ⋅ xi ,
N N N N N
∑i =1
xi2 ⋅ a1 + ∑
i =1
xi3 ⋅ a2 + ∑
i =1
xi4 ⋅ a3 + ∑ i =1
xi5 ⋅ a4 = ∑f
i =1
i ⋅ xi2 ,
N N N N N
∑i =1
xi3 ⋅ a1 + ∑ i =1
xi4 ⋅ a2 + ∑
i =1
xi5 ⋅ a3 + ∑ i =1
xi6 ⋅ a4 = ∑f
i =1
i ⋅ xi3 .
Полученная система называется нормальной. Для ее реше-
ния используют стандартные методы решения СЛАУ. Как пра-
вило, число неизвестных системы (т.е. число коэффициентов
интерполирующей функции) невелико, поэтому можно приме-
нять точные методы решения СЛАУ, например, метод Крамера
или метод Гаусса.
Метод наименьших квадратов позволяет «приблизить» ис-
ходные данные с помощью линейной комбинации любых элемен-
тарных функций. Часто используются приближения линейной
42
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
