Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 39 стр.

UptoLike

41
3.5. Метод наименьших квадратов
Во всех вышеизложенных методах условия интерполяции
выполнялись точно. Однако в тех случаях, когда исходные дан-
ные x
i
, f
i
, i = 1,…,N, заданы с некоторой погрешностью
ε
, можно
требовать лишь приближенного выполнения условий интерпо-
ляции: |F(x
i
)f
i
| <
ε
. Это условие означает, что интерполирую-
щая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в
некоторой их окрестности, например, как это показано на рис. 3.4.
Приблизим исходные данные глобальным полиномом. Если ре-
шать задачу интерполяции
точно, то полином должен
иметь степень N. При рас-
смотрении полинома Ла-
гранжа мы
выяснили, что
полином N-й степени хо-
рошо приближает исход
ную функцию только при
небольших значениях N.
Будем искать полином низкой степени, например,
P
3
(x) = a
1
+ a
2
x + a
3
x
2
+ a
4
x
3
. Если N > 4, то точная задача реше-
ний не имеет: для четырех неизвестных коэффициентов
(a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) условия интерполяции дают N > 4 уравнений. Но
теперь точного выполнения условий интерполяции не требуется.
Мы хотим, чтобы полином проходил рядом с заданными точка-
ми. Существует много таких полиномов, каждый из которых
определяется своим набором коэффициентов. Суть метода
наименьших квадратов (МНК) состоит в том, что среди всех
возможных полиномов этого вида
выбирается тот, который име-
ет наименьшее среднеквадратичное отклонение в узлах интер-
поляции от заданных значений. Этот многочлен будет самым
близким к заданным точкам из всех возможных многочленов
третьей степени. В i-й точке полином P
3
(x) отклоняется от значе-
ния f
i
на величину (P
3
(x
i
) – f
i
). Суммируем квадраты отклонений
полинома по всем точкам i = 1, 2,…, N, получим функционал квад-
ратов отклонений:
x
y
Рис. 3.4. Приближенное выполнение
условий интерполяции
              3.5. Метод наименьших квадратов
     Во всех вышеизложенных методах условия интерполяции
выполнялись точно. Однако в тех случаях, когда исходные дан-
ные xi, fi, i = 1,…,N, заданы с некоторой погрешностью ε, можно
требовать лишь приближенного выполнения условий интерпо-
ляции: |F(xi) – fi| < ε . Это условие означает, что интерполирую-
щая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в
некоторой их окрестности, например, как это показано на рис. 3.4.
Приблизим исходные данные глобальным полиномом. Если ре-
шать задачу интерполяции
точно, то полином должен           y
иметь степень N. При рас-
смотрении полинома Ла-
гранжа мы выяснили, что
полином N-й степени хо-                                       x
рошо приближает исход
                                  Рис. 3.4. Приближенное выполнение
ную функцию только при                   условий интерполяции
небольших значениях N.
      Будем искать полином низкой степени, например,
P3(x) = a1 + a2x + a3x2 + a4x3. Если N > 4, то точная задача реше-
ний не имеет: для четырех неизвестных коэффициентов
(a1, a2, a3, a4) условия интерполяции дают N > 4 уравнений. Но
теперь точного выполнения условий интерполяции не требуется.
Мы хотим, чтобы полином проходил рядом с заданными точка-
ми. Существует много таких полиномов, каждый из которых
определяется своим набором коэффициентов. Суть метода
наименьших квадратов (МНК) состоит в том, что среди всех
возможных полиномов этого вида выбирается тот, который име-
ет наименьшее среднеквадратичное отклонение в узлах интер-
поляции от заданных значений. Этот многочлен будет самым
близким к заданным точкам из всех возможных многочленов
третьей степени. В i-й точке полином P3(x) отклоняется от значе-
ния fi на величину (P3(xi) – fi). Суммируем квадраты отклонений
полинома по всем точкам i = 1, 2,…, N, получим функционал квад-
ратов отклонений:

                                41